Descargo de responsabilidad - Disclaimer
[spoiler] Este hilo pretende ayudar a entender algunas nociones elementales sobre probabilidad aplicada a los juegos de mesa. Por eso necesita la ayuda de todos aquellos que sí tenéis esos conocimientos. No es mi caso: mis conocimientos son muy escasos además de no es un área en la que me sienta especialmente capaz, lo que confirma la máxima "el que habla no sabe y el que sabe no habla". Por eso mismo he querido abrir este hilo: porque creo que nos puede ayudar a muchos a entender algunas nociones elementales, y creo que somos muchos los que estamos en esta situación. Alguna vez he escuchado o leído que los foros o las redes sociales no son el sitio en el que se puede ni debe abordar aspectos teóricos o académicos, que no son un lugar para aprender, y que se puede caer en el error de banalizar un área de conocimientos al divulgar pequeños conceptos ya que se puede interpretar que esos aspectos superficiales habilitan o capacitan o son comparables a los de una formación académica. No es lo que se pretende con este hilo, al contrario, lo que se pretende es realizar una introducción a aspectos elementales, pero concretos y rigurosos, que sirvan para animar a profundizar posteriormente. La "divulgación", en algunas ocasiones, debe iniciarse con ejemplos sencillos y accesibles, y asociarlo a otros contenidos motivadores. Esa es la premisa. Remarco que este hilo pretende ser construido entre todos, para así corregir las imprecisiones o errores que pueden aparecer.[/spoiler]
La mayoría de los juegos tienen algún tipo de mecánica que depende de la aritmética, y algunos de ellos de la probabilidad. Y muchos jugadores tenemos unos conocimientos limitados o muy limitados al respecto. Por eso me he animado, siendo no solo un ignorante sino especialmente incapaz, a iniciar un hilo en el que podamos entender y corregir algunos conocimientos básicos, con la ayuda de aquellos que sí que tienen esos conocimientos.
Vamos a empezar por diferenciar la probabilidad condicionada de la que no lo es:
Por ejemplo, tirar un dado de seis caras es un "evento" (*dejo aquí esta nota para ir matizando-corrigiendo conceptos para utilizar el término exacto) independiente que no está condicionado por lo que haya sucedido antes o después. En un dado convencional numerado del 1 al 6 la probabilidad de obtener uno de los resultados, y sólo ese resultado, es 1 dividido entre el número de opciones, 6.
1/6, que podemos representar en un gráfico circular para visualizarlo
(https://pbs.twimg.com/media/GGhz39kWkAAXQns?format=jpg&name=360x360)
Siguiendo con tiradas de dados, si queremos calcular la probabilidad de obtener el mismo resultado concreto al lanzar dos dados (o un dados dos veces seguidas) tendremos que multiplicar la probabilidad de la primera por la probabilidad de la segunda. Es decir, obtener un 6 en un dado de seis caras tiene una probabilidad de 1/6 (es decir, una de cada seis veces obtendremos un 6). Nos podemos olvidar de las otras 5 veces (de cada 6) que no sale el 6 y nos quedamos con esa ocasión en la que sale el seis, y en esa, otra vez una de cada seis veces volverá a salir un 6. Eso de traduce en multiplicar 1/6 por, otra vez, 1/6. Para eso se multiplican los numeradores (el 1 se multiplica por 1), y se multiplican los denominadores (el 6 se multiplica por el 6), obteniendo 1/36. Una de cada 36 tiradas obtendremos dos seises, lo que es igual a un 2,8 % (aproximado). Lo podemos visualizar mejor así:
(https://qph.cf2.quoracdn.net/main-qimg-3613cc4fee5e757b1e9b4c51b42643ad)
(https://pbs.twimg.com/media/GGiIrCSWUAAVdJE?format=png&name=small)
(imagen enlazada de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/Math/immath/dice.png)
Siguiendo este razonamiento podemos obtener la probabilidad de obtener un resultado final en una tirada de 2 dados de 6 caras. Por ejemplo, un resultado final de 3 lo obtendremos una vez de cada 36 por la combinación del 1 del primer dado más el 2 de segundo dado, más la combinación del 2 del primer dado más el 1 del segundo dado. 1/36 + 1/36 = 2/36.
(https://pbs.twimg.com/media/GGhz39lW4AA1O9C?format=jpg&name=medium)
Probabilidades dependientes:
Esto es más interesante y complejo.
Vamos a poner el ejemplo de "Secret Hitler", en el que tenemos un mazo con 17 cartas, de las cuales 11 son leyes fascistas y 6 son leyes liberales.
(https://miro.medium.com/v2/resize:fit:4800/format:webp/1*4wcSWOfF-ms7xLfoqH8hag.jpeg)
En la primera ronda, con el mazo intacto (y "aleatorizado", que entenderemos para este propósito como "barajado-desordenado") ¿qué probabilidades existen de que las tres cartas que ha robado el primer presidente hayan sido leyes fascistas (y por tanto no haya tenido elección posible).
Como tenemos que sacar tres cartas, cada vez que sacamos-robamos una carta estamos "condicionando" la probabilidad de la siguiente, al reducir tanto la probabilidad de robar esa carta como la cantidad de cartas de las que se roba. Veamos esto.
Inicialmente tenemos 17 cartas, y 11 de ellas son fascistas. Hay, por tanto, 11 probabilidades de 17 de robar una primera ley fascista (aproximadamente un 65%).
(https://pbs.twimg.com/media/GGiHeymWkAAu3lY?format=jpg&name=900x900)
Lo interesante viene ahora: la probabilidad de que la segunda carta sea TAMBIÉN fascista es de 10 probabilidades entre 16, es decir: 10 probabilidades de que sea una ley fascista (restamos 1 probabilidad de que sea fascista porque LA ANTERIOR YA ERA FASCISTA y por tanto no puede haber ahora en el mazo 11 cartas fascistas, se han reducido a 10) entre 16 cartas (porque ya no quedan 17 cartas en el mazo, quedan 16 porque hemos robado una), Y LA MULTIPLICAMOS A LO ANTERIOR, ya que la probabilidad de que ahora robemos una ley fascista (10/16) está condicionada porque TAMBIÉN ANTES hayamos robado una ley fascista. 11/17 X 10/16 = 0,40 (aprox) = 40% aprox.
(https://pbs.twimg.com/media/GGiHeyhXIAASME8?format=jpg&name=medium)
Explicado de otra forma: para que en este momento tengamos 2 leyes fascista, la primera tiene que haber sido una ley fascista. Eso "solo" sucede un 65% (11/17) de las veces. Es decir, "nos olvidamos" del 35% de ocasiones en los que se roba una ley liberal, porque en ese 35% ya no pueden robarse dos leyes fascistas. Dentro de ese 65% (el área azul en el gráfico) calculamos 10/16 probabilidades. Es "un pedazo de tarta que cogemos del pedazo de tarta anterior". En el gráfico, el área azul oscuro dentro del área azul que teníamos.
Y, por último, que, nuevamente, la tercera carta VUELVA A SER FASCISTA está condicionado por lo anterior, por tanto tendremos 9 probabilidades (hemos quitado 2 cartas a las 11 iniciales, por eso nos quedan 9 probabilidades) de robar la carta entre 15 posibles (porque a las 17 iniciales debemos restar 2). 9/15, que multiplicamos por el resultado anterior, para obtener un 0,24 (aprox), un 24% de probabilidades, que sería lo mismo que multiplicar 11/17 x 10/16 x 9/15 = 0,2427
(https://pbs.twimg.com/media/GGiHeypXAAI0Hec?format=jpg&name=medium)
Aquí tenemos un cálculo de distintas probabilidades de robar distintas distribuciones de cartas teniendo en cuenta ciertas condiciones.
Vamos ahora con otro ejemplo con otro juego de roles ocultos: ¿Qué probabilidad existe de que un "empático" (empath) diga la verdad cuando afirma tener "cero" jugadores "malos" a su lado, en una partida de 12 jugadores en el escenario Trouble Brewing?
(https://wiki.bloodontheclocktower.com/images/1/13/Icon_empath.png)
El "empático" es un rol que permite conocer a ese jugador cuántos de los jugadores que están a cada uno de sus dos lados son de alineamiento "malo". Por tanto le pueden decir "Ninguno/cero", "uno" o "dos".
(https://evilmastermindhome.files.wordpress.com/2022/09/img_9729.jpg?w=768)
En la imagen, el jugador (abajo a la derecha) recibiría un cero.
Vamos a calcular las probabilidades de que, siendo el propio jugador el que recibe la información, reciba un "ninguno/cero" en una partida de 12 jugadores.
Nosotros somos uno de esos 12 jugadores, y somos del alineamiento "bueno". Eso deja a 11 jugadores: otros 8 "buenos" y a 3 "malos" (por las reglas de configuración de la partida). Por tanto tenemos 8/11 probabilidades de tener un bueno a un lado. Para que calcular que ADEMÁS tengamos a un bueno al otro tendremos que multiplicarlo por las 7/10 probabilidades de que al otro lado TAMBIÉN haya un bueno (hemos restado 1 del numerador ya que eliminamos la opción que condiciona este evento, y hemos reducido en uno el numerador porque se ha reducido en uno el número de jugadores).
Es decir 8/11 × 7/10 = 56/110 = 0,51 (aprox) = 51%
Lo interesante, para practicar esta cuestión de las probabilidades condicionadas, (para lo cual voy a necesitar ayuda) es tener en cuenta que este resultado está condicionado por varias cuestiones:
1) La probabilidad de que seas un borracho. En una partida de 12 jugadores hay 2 forasteros en juego, de 4 posibles. Es decir, 1/2 - la mitad de las veces habrá un borracho* (esto no es exactamente así, ya que depende del narrador y es más frecuente añadir al borracho que a otros forasteros por motivos subjetivos, pero asumiremos que es igual de probable para esta "práctica"). La probabilidad de que nosotros seamos ese borrachos es de 1 de 9 jugadores buenos posible. Es decir, 1/2 x 1/9 = 1/18 probabilidades de ser el borracho.
(https://wiki.bloodontheclocktower.com/images/4/4a/Icon_drunk.png)
2) La probabilidad de que uno de tus vecinos sea el espía, que es un jugador "malo" pero "parece bueno" al respecto de esta habilidad. Al haber 2 esbirros en juego de 4 posibles existe 1/2 probabilidades de que el espía esté en juego (al igual que con el borracho, esto es impreciso ya que el espía es un rol que no suele añadirse a la partidas de forma proporcional, pero asumiremos que sí para este cálculo). Y ese espía tiene que estar en uno de los lados. Es decir, 1/11 probabilidades de estar en un lado + 1/11 probabilidades de estar en el otro = 2/11 x 1/2 = 1/11 = 0,091 = 9,1%
(https://wiki.bloodontheclocktower.com/images/5/54/Icon_spy.png)
Es muy importante la diferencia en el cálculo de estas probabilidades respecto las anteriores para entender por qué aquí hemos SUMADO la probabilidad de que el espía esté en un lado a la probabilidad a la probabilidad de que esté en el otro, en lugar de MULTIPLICAR la probabilidad de tener un bueno a un lado y ADEMÁS un bueno al otro como hicimos en el cálculo inicial.
3) La probabilidad de que uno de tus vecinos sea el recluso, que es un jugador "bueno" pero "parece malo" al respecto de esta habilidad. Al haber 2 forasteros en juego de 4 posibles existe 1/2 probabilidades de que el recluso esté en juego (al igual que con el borracho, esto es impreciso pero asumiremos que sí para este cálculo). Y ese recluso tiene que estar en uno de los lados. Es decir, 1/11 probabilidades de estar en un lado + 1/11 probabilidades de estar en el otro = 2/11 x 1/2 = 1/11 = 0,091 = 9,1%
(https://wiki.bloodontheclocktower.com/images/6/60/Icon_recluse.png)
4) La probabilidad de que tú estés envenenado y estés recibiendo información falsa. Para eso tiene que estar el envenenador en juego (1/2 probabilidades por el mismo motivo de configuración de partida) y además debe haberte elegido a ti (dado que los "malos" se conocen" elegirán a uno de los 9 "buenos", es decir 1/9 x 1/2 probabilidades de ser el envenenado = 1/18 = 0,055 = 5,5%
(https://wiki.bloodontheclocktower.com/images/b/b1/Icon_poisoner.png)
Vamos a hacer más interesante el asunto:
¿Qué probabilidades hay de que si otro jugador dice tener un "cero" como émpata esa información sea cierta? A todo lo anterior debemos añadir otra nueva opción: que el jugador que está diciendo eso no sea un jugador "bueno", sino que sea un jugador "malo" haciéndose pasar por émpata. (pendiente)
Otro ejemplo: ¿Qué probabilidades hay de que votes el culto propuesto por otro cultista y pierdas la partida? (pendiente)
pendiente de finalización...
Pequeño glosario de conceptos estadísticos.
P(A) = Probabilidad de que suceda A. Su valor oscila entre 0 (suceso imposible) y 1 (suceso asegurado). La suma de la probabilidad de todos los procesos siempre tiene que dar 1. En los casos más sencillos* se puede calcular mediante la Regla de Laplace.
Regla de Laplace = Permite calcular la probabilidad de un suceso A suceda, en un escenario donde todos los resultados son equiprobables se calcula como:
(https://i.postimg.cc/PpvLrq9p/Laplace.png) En el ejemplo que comenta Calvo de un dado: P(Sacar un 4)= 1/6
P(Ā) = Probabilidad complementaria de A. Es la probabilidad de que NO ocurra A.Se puede calcular como: P(Ā)= 1 - P(A)
La probabilidad de NO sacar un 1 en un dado es: P(Ā)= 1 - 1/6 = 5/6 Este resultado se puede calcular también por Laplace.
Además de esta definición de probabilidad existen otras que son bastante interesantes también:
P(A ∪ B) = Probabilidad de la unión de A y B. Es la probabilidad de que ocurra o A o B. Para escenarios donde los resultados sean excluyentes (que serán la mayoría de los que se comenten aquí *), esta probabilidad se calcula fácilmente mediante la Regla de la Suma.
(https://i.postimg.cc/QV52c3rp/Suma-simplificada.png) Volviendo al ejemplo del dado: P (1 ∪ 2)= 1/6+1/6=2/6=1/3 Que podemos comprobar rápidamente como coincide con el cálculo que haríamos por Laplace, con dos sucesos favorables de 6 posibles.
* Aquí hemos simplificado un poco la cosa, porque la fórmula general de la suma para la unión de sucesos es:(https://i.postimg.cc/5yGJwgQM/Suma-general.png) Por ejemplo, la probabilidad de sacar con un dado un número par o mayor que 4 (2, 4, 5, 6) por Laplace se calcula fácil (4/6), mientras que sumando las probabilidades por separado de par (2, 4, 6) o mayor que 4 (5, 6), estaríamos contando 2 veces la aparición del seis, dándonos 5/6. Por eso se resta esa intersección repetida.
P (Par ∪ >4)= P(Par) + P(>4) - P (Par y >4, osease, "6")= 1/2 + 1/3 -1/6 = 4/6 ¿Por qué hemos hecho esto? Porque si indicamos que los procesos son excluyentes, su intersección es nula, osea 0. El otro caso que es el que nos compete en el hilo va a ser que el valor de la intersección va a ser ínfimo en comparación con el resto de sucesos y por simplificar un poco los cálculos se desprecia asumiendo que va a haber un ligero error respecto al valor real. De todas maneras se incluirá el cálculo de alguna intersección para que evaluéis por vuestra cuenta si merece la pena.
P(A ∩ B) = Probabilidad de la intersección de A y B. Es la probabilidad de que ocurran A y B. Esta probabilidad, para sucesos independientes se calcula mediante la Regla de la Multiplicación.
(https://i.postimg.cc/ZKB4JGXY/Multiplicacion.png) Con el ejemplo del dado, yo quiero sacar primero un 6 y acto seguido volver a lanzar y sacar un dos: P(6∩2)= 1/6 · 1/6= 1/36. De nuevo, se podría calcular mediante Laplace, quien tenga interés que pruebe a hacerlo con la imagen que subió Calvo (ojo, en este ejemplo es muy importante el orden, no como en otros escenarios que se comentarán en el post). Como comentamos un poco más arriba facil que es caso del dado, donde las caras del dado no se agotan tras salir, es decir, hemos ido a un caso de sucesos independientes. Pero en realidad en el escenario opuesto es muy similar, con un pequeño matiz.
P(A|B) = Probabilidad de A condicionada por B. Es la probabilidad de que ocurra A si sucede B. Esta probabilidad se puede calcular también de varias maneras, aunque para los cálculos de este post muchas veces se calcularán por la Regla de Laplace, como en el ejemplo del Secret Hitler.
Un ejemplo muy visual para entender que muchas veces el condicionante puede ser simplemente información es de nuevo con un dado:
Tiro un dado y pregunto cual es la probabilidad de que sea un 6, esta sería P(A) y ya vimos que es P("6")= 1/6.Pero ¿qué pasa si ahora yo miro el resultado antes y digo que el resultado es mayor de 4?, la probabilidad de que sea un 6 es mayor, porque ahora lo que estoy preguntando es P(A|B) siendo B "el resultado es mayor que 4". En este escenario los resultados posibles serían 5 y 6 y uno de ellos es favorable, por lo que según Laplace la probabilidad sería de 1/3.
Y aquí es donde viene la chicha prometida:
La probabilidad de intersección entre sucesos dependientes es la misma fórmula de antes de multiplicar probabilidades, teniendo en cuenta esta probabilidad "condicionada".
(https://i.postimg.cc/Vv51rp6R/Condicionada.png) En el ejemplo de Calvo del Secret Hitler P(A | B) sería por ejemplo P(Robar 2ª fascista | Habiendo Robado la 1ª fascista).
Cita de: Dumis en 17 de Febrero de 2024, 17:38:11
Pequeño glosario de conceptos estadísticos.
P(A) = Probabilidad de que suceda A. Su valor oscila entre 0 (suceso imposible) y 1 (suceso asegurado). La suma de la probabilidad de todos los procesos siempre tiene que dar 1. En los casos más sencillos* se puede calcular mediante la Regla de Laplace.
Regla de Laplace = Permite calcular la probabilidad de un suceso A suceda, en un escenario donde todos los resultados son equiprobables se calcula como:
(https://i.postimg.cc/PpvLrq9p/Laplace.png) En el ejemplo que comenta Calvo de un dado: P(Sacar un 4)= 1/6
P(Ā) = Probabilidad complementaria de A. Es la probabilidad de que NO ocurra A.Se puede calcular como: P(Ā)= 1 - P(A)
La probabilidad de NO sacar un 1 en un dado es: P(Ā)= 1 - 1/6 = 5/6 Este resultado se puede calcular también por Laplace.
Además de esta definición de probabilidad existen otras que son bastante interesantes también:
P(A ∪ B) = Probabilidad de la unión de A y B. Es la probabilidad de que ocurra o A o B. Para escenarios donde los resultados sean excluyentes (que serán la mayoría de los que se comenten aquí *), esta probabilidad se calcula fácilmente mediante la Regla de la Suma.
(https://i.postimg.cc/QV52c3rp/Suma-simplificada.png) Volviendo al ejemplo del dado: P (1 ∪ 2)= 1/6+1/6=2/6=1/3 Que podemos comprobar rápidamente como coincide con el cálculo que haríamos por Laplace, con dos sucesos favorables de 6 posibles.
* Aquí hemos simplificado un poco la cosa, porque la fórmula general de la suma para la unión de sucesos es:(https://i.postimg.cc/5yGJwgQM/Suma-general.png) Por ejemplo, la probabilidad de sacar con un dado un número par o mayor que 4 (2, 4, 5, 6) por Laplace se calcula fácil (4/6), mientras que sumando las probabilidades por separado de par (2, 4, 6) o mayor que 4 (5, 6), estaríamos contando 2 veces la aparición del seis, dándonos 5/6. Por eso se resta esa intersección repetida.
P (Par ∪ >4)= P(Par) + P(>4) - P (Par y >4, osease, "6")= 1/2 + 1/3 -1/6 = 4/6 ¿Por qué hemos hecho esto? Porque si indicamos que los procesos son excluyentes, su intersección es nula, osea 0. El otro caso que es el que nos compete en el hilo va a ser que el valor de la intersección va a ser ínfimo en comparación con el resto de sucesos y por simplificar un poco los cálculos se desprecia asumiendo que va a haber un ligero error respecto al valor real. De todas maneras se incluirá el cálculo de alguna intersección para que evaluéis por vuestra cuenta si merece la pena.
P(A ∩ B) = Probabilidad de la intersección de A y B. Es la probabilidad de que ocurran A y B. Esta probabilidad, para sucesos independientes se calcula mediante la Regla de la Multiplicación.
(https://i.postimg.cc/ZKB4JGXY/Multiplicacion.png) Con el ejemplo del dado, yo quiero sacar primero un 6 y acto seguido volver a lanzar y sacar un dos: P(6∩2)= 1/6 · 1/6= 1/36. De nuevo, se podría calcular mediante Laplace, quien tenga interés que pruebe a hacerlo con la imagen que subió Calvo (ojo, en este ejemplo es muy importante el orden, no como en otros escenarios que se comentarán en el post). Como comentamos un poco más arriba facil que es caso del dado, donde las caras del dado no se agotan tras salir, es decir, hemos ido a un caso de sucesos independientes. Pero en realidad en el escenario opuesto es muy similar, con un pequeño matiz.
P(A|B) = Probabilidad de A condicionada por B. Es la probabilidad de que ocurra A si sucede B. Esta probabilidad se puede calcular también de varias maneras, aunque para los cálculos de este post muchas veces se calcularán por la Regla de Laplace, como en el ejemplo del Secret Hitler.
Un ejemplo muy visual para entender que muchas veces el condicionante puede ser simplemente información es de nuevo con un dado:
Tiro un dado y pregunto cual es la probabilidad de que sea un 6, esta sería P(A) y ya vimos que es P("6")= 1/6.Pero ¿qué pasa si ahora yo miro el resultado antes y digo que el resultado es mayor de 4?, la probabilidad de que sea un 6 es mayor, porque ahora lo que estoy preguntando es P(A|B) siendo B "el resultado es mayor que 4". En este escenario los resultados posibles serían 5 y 6 y uno de ellos es favorable, por lo que según Laplace la probabilidad sería de 1/3.
Y aquí es donde viene la chicha prometida:
La probabilidad de intersección entre sucesos dependientes es la misma fórmula de antes de multiplicar probabilidades, teniendo en cuenta esta probabilidad "condicionada".
(https://i.postimg.cc/Vv51rp6R/Condicionada.png) En el ejemplo de Calvo del Secret Hitler P(A | B) sería por ejemplo P(Robar 2ª fascista | Habiendo Robado la 1ª fascista).
¡Excelente! Sigue, por favor, aportando, corrigiendo y añadiendo comentarios, porque creo que nos van a ser de gran utilidad.
Cita de: Calvo en 17 de Febrero de 2024, 17:45:28
Cita de: Dumis en 17 de Febrero de 2024, 17:38:11
Pequeño glosario de conceptos estadísticos.
P(A) = Probabilidad de que suceda A. Su valor oscila entre 0 (suceso imposible) y 1 (suceso asegurado). La suma de la probabilidad de todos los procesos siempre tiene que dar 1. En los casos más sencillos* se puede calcular mediante la Regla de Laplace.
Regla de Laplace = Permite calcular la probabilidad de un suceso A suceda, en un escenario donde todos los resultados son equiprobables se calcula como:
(https://i.postimg.cc/PpvLrq9p/Laplace.png) En el ejemplo que comenta Calvo de un dado: P(Sacar un 4)= 1/6
P(Ā) = Probabilidad complementaria de A. Es la probabilidad de que NO ocurra A.Se puede calcular como: P(Ā)= 1 - P(A)
La probabilidad de NO sacar un 1 en un dado es: P(Ā)= 1 - 1/6 = 5/6 Este resultado se puede calcular también por Laplace.
Además de esta definición de probabilidad existen otras que son bastante interesantes también:
P(A ∪ B) = Probabilidad de la unión de A y B. Es la probabilidad de que ocurra o A o B. Para escenarios donde los resultados sean excluyentes (que serán la mayoría de los que se comenten aquí *), esta probabilidad se calcula fácilmente mediante la Regla de la Suma.
(https://i.postimg.cc/QV52c3rp/Suma-simplificada.png) Volviendo al ejemplo del dado: P (1 ∪ 2)= 1/6+1/6=2/6=1/3 Que podemos comprobar rápidamente como coincide con el cálculo que haríamos por Laplace, con dos sucesos favorables de 6 posibles.
* Aquí hemos simplificado un poco la cosa, porque la fórmula general de la suma para la unión de sucesos es:(https://i.postimg.cc/5yGJwgQM/Suma-general.png) Por ejemplo, la probabilidad de sacar con un dado un número par o mayor que 4 (2, 4, 5, 6) por Laplace se calcula fácil (4/6), mientras que sumando las probabilidades por separado de par (2, 4, 6) o mayor que 4 (5, 6), estaríamos contando 2 veces la aparición del seis, dándonos 5/6. Por eso se resta esa intersección repetida.
P (Par ∪ >4)= P(Par) + P(>4) - P (Par y >4, osease, "6")= 1/2 + 1/3 -1/6 = 4/6 ¿Por qué hemos hecho esto? Porque si indicamos que los procesos son excluyentes, su intersección es nula, osea 0. El otro caso que es el que nos compete en el hilo va a ser que el valor de la intersección va a ser ínfimo en comparación con el resto de sucesos y por simplificar un poco los cálculos se desprecia asumiendo que va a haber un ligero error respecto al valor real. De todas maneras se incluirá el cálculo de alguna intersección para que evaluéis por vuestra cuenta si merece la pena.
P(A ∩ B) = Probabilidad de la intersección de A y B. Es la probabilidad de que ocurran A y B. Esta probabilidad, para sucesos independientes se calcula mediante la Regla de la Multiplicación.
(https://i.postimg.cc/ZKB4JGXY/Multiplicacion.png) Con el ejemplo del dado, yo quiero sacar primero un 6 y acto seguido volver a lanzar y sacar un dos: P(6∩2)= 1/6 · 1/6= 1/36. De nuevo, se podría calcular mediante Laplace, quien tenga interés que pruebe a hacerlo con la imagen que subió Calvo (ojo, en este ejemplo es muy importante el orden, no como en otros escenarios que se comentarán en el post). Como comentamos un poco más arriba facil que es caso del dado, donde las caras del dado no se agotan tras salir, es decir, hemos ido a un caso de sucesos independientes. Pero en realidad en el escenario opuesto es muy similar, con un pequeño matiz.
P(A|B) = Probabilidad de A condicionada por B. Es la probabilidad de que ocurra A si sucede B. Esta probabilidad se puede calcular también de varias maneras, aunque para los cálculos de este post muchas veces se calcularán por la Regla de Laplace, como en el ejemplo del Secret Hitler.
Un ejemplo muy visual para entender que muchas veces el condicionante puede ser simplemente información es de nuevo con un dado:
Tiro un dado y pregunto cual es la probabilidad de que sea un 6, esta sería P(A) y ya vimos que es P("6")= 1/6.Pero ¿qué pasa si ahora yo miro el resultado antes y digo que el resultado es mayor de 4?, la probabilidad de que sea un 6 es mayor, porque ahora lo que estoy preguntando es P(A|B) siendo B "el resultado es mayor que 4". En este escenario los resultados posibles serían 5 y 6 y uno de ellos es favorable, por lo que según Laplace la probabilidad sería de 1/3.
Y aquí es donde viene la chicha prometida:
La probabilidad de intersección entre sucesos dependientes es la misma fórmula de antes de multiplicar probabilidades, teniendo en cuenta esta probabilidad "condicionada".
(https://i.postimg.cc/Vv51rp6R/Condicionada.png) En el ejemplo de Calvo del Secret Hitler P(A | B) sería por ejemplo P(Robar 2ª fascista | Habiendo Robado la 1ª fascista).
¡Excelente! Sigue, por favor, aportando, corrigiendo y añadiendo comentarios, porque creo que nos van a ser de gran utilidad.
Por qué conozco a calvo en persona, sino investigaría a ver si es una IA buscando que le introduzcan texto para sacar información
Cita de: Calvo en 17 de Febrero de 2024, 11:52:05
Vamos a calcular las probabilidades de que, siendo el propio jugador el que recibe la información, reciba un "ninguno/cero" en una partida de 12 jugadores.
Nosotros somos uno de esos 12 jugadores, y somos del alineamiento "bueno". Eso deja a 11 jugadores: otros 8 "buenos" y a 3 "malos" (por las reglas de configuración de la partida). Por tanto tenemos 8/11 probabilidades de tener un bueno a un lado. Para que calcular que ADEMÁS tengamos a un bueno al otro tendremos que multiplicarlo por las 7/10 probabilidades de que al otro lado TAMBIÉN haya un bueno (hemos restado 1 del numerador ya que eliminamos la opción que condiciona este evento, y hemos reducido en uno el numerador porque se ha reducido en uno el número de jugadores).
Es decir 8/11 × 7/10 = 56/110 = 0,51 (aprox) = 51%
Matizaría una cosa aquí, este calculo es válido en este escenario para
cualquier jugador cuyo alineamiento sea
bueno en el segundo 0 desde que ve su ficha, podríamos llamarlo P(A)= Probabilidad de que mis dos vecinos sean también buenos. Aunque luego este cálculo se aplique para el empático, valdría para cualquier personaje que tenga este alineamiento, un Chef podría llegar hasta este dato la primera noche.
Ahora aquí tenemos otro dato: nos han dicho que nosotros como empáticos tenemos un
0 y esto nos abre varios posibles escenarios, comentaré aquí los dos que nos interesan:
- Que nuestro 0 sea verídico y ambos vecinos sean buenos. (Es lo que queremos saber a fin de cuentas, si nos podemos fiar de nuestros vecinos)
- Que en el caso de que nuestra percepción estuviese alterada por algún efecto, el narrador decidiese mentirnos, y por tanto al menos uno nuestros vecinos es malo. (Con un pequeño matiz, hay varios tipos de alteración, podría ser alteración 1, o alteración 2 o alteración 3 ...) Podriamos resumir en que nuestro 0 sea falso
Si nos fijamos ambos escenarios conectan dos sucesos bajo el término
Y, por lo que guiándonos por el glosario sabemos que vamos a tener que hacer intersecciones de sucesos, y por tanto la Regla de la Multiplicación (ya os adelanto que alguna cosa más, que para eso está el glosario).
En concreto nos centraremos en el segundo escenario: por ir agilizando pasos, quizás nos interese saber la probabilidad de que al menos uno de nuestros vecinos sea malo. Esto se puede calcular viendo todas las opciones posibles:
P(Al menos un vecino malo)= P(el vecino de mi izquierda malo y el derecho bueno) o P(el vecino de la izquierda bueno y el derecho malo) o P(El vecino de la izquierda malo y el vecino de la derecha malos) ; si el glosario ha quedado claro aquí deberías ver 3 sumas de probabilidades, donde cada una de ellas tiene que aplicar la regla de la multiplicación dentro de sus paréntesis, y siendo el segundo suceso de cada cual una probabilidad condicionada (pues el número de malos disponibles y el total de roles disponibles disminuye).
Esto aunque calculable puede ser algo tedioso, así que aplicando de nuevo el glosario podemos darle una vuelta de tuerca:
¿Qué significa que al menos uno de mis vecinos sea malo? Pues, intentado estirar un poco la lógica, significa que no se cumple el suceso "mis dos vecinos sean ambos buenos", que es una probabilidad que Calvo ya calculó.
Osea que yo puedo calcular que la probabilidad de al menos un vecino malo es la opuesta/complementaria a la probabilidad de que mis dos vecinos sean ambos buenos.
P(Al menos un malo)= 1- 0.51= 0.49= 49% Esto que hemos calculado aquí, de nuevo es una probabilidad a segundo 0, con nada de información, pero esta nos va a ser más útil para algunos escenarios. Esto también nos da una información ajena al proposito del post, pero que nos da pistas de como de balanceado está en juego, pues para este numero de jugadores y esta disposición, un jugador nada más ver su ficha de bueno tiene más o menos la mitad de probabilidades de poder fiarse de sus dos vecinos o no.
Cita de: Calvo en 17 de Febrero de 2024, 11:52:05
1) La probabilidad de que seas un borracho. En una partida de 12 jugadores hay 2 forasteros en juego, de 4 posibles. Es decir, 1/2 - la mitad de las veces habrá un borracho* (esto no es exactamente así, ya que depende del narrador y es más frecuente añadir al borracho que a otros forasteros por motivos subjetivos, pero asumiremos que es igual de probable para esta "práctica"). La probabilidad de que nosotros seamos ese borrachos es de 1 de 9 jugadores buenos posible. Es decir, 1/2 x 1/9 = 1/18 probabilidades de ser el borracho.
(https://wiki.bloodontheclocktower.com/images/4/4a/Icon_drunk.png)
Pequeña corrección, no todos los jugadores tienen que tener sospechas, un borracho siempre cree que es un aldeano, por lo que el otro forastero no tiene que preocuparse de que es borracho, por lo que eso deja a 8 personas preocupadas.
El cálculo entonces sería 1/2 x 1/8= 1/16 de probabilidades de ser el borracho. Pero a nosotros no nos llega con saber si somos el borracho, estamos buscando un escenario donde estamos ebrios y además nos han dicho algo.
Un pequeño matiz es que, como muchas habilidades de este juego, el borracho tiene el modificador
puede lo cual implica que está a discreción del narrador elegir el resultado, para favorecer los cálculos estamos poniéndonos en el caso más pesimista donde siempre que nos afecte algo así nos van a dar información falsa, pero como recordatorio de que la probabilidad podría ser menor según cada narrador (habría que multiplicar por el factor "maldad del narrador" que podría ser menor que 1).
En este escenario pesimista, ¿Cuando podríamos recibir un cero, el cual en este escenario nada amigable va a ser mentira al tener la habilidad alterada al ser borrachos? Pues si tiene que ser mentira implica que "al menos uno de nuestros vecinos sea malo" (49%).
Por tanto la probabilidad de que ese cero sea un "cero de borracho pesimista" es:
1/2*1/8*0.49= 0.03=3.06%
Cita de: Calvo en 17 de Febrero de 2024, 11:52:05
2) La probabilidad de que uno de tus vecinos sea el espía, que es un jugador "malo" pero "parece bueno" al respecto de esta habilidad. Al haber 2 esbirros en juego de 4 posibles existe 1/2 probabilidades de que el espía esté en juego (al igual que con el borracho, esto es impreciso ya que el espía es un rol que no suele añadirse a la partidas de forma proporcional, pero asumiremos que sí para este cálculo). Y ese espía tiene que estar en uno de los lados. Es decir, 1/11 probabilidades de estar en un lado + 1/11 probabilidades de estar en el otro = 2/11 x 1/2 = 1/11 = 0,091 = 9,1%
(https://wiki.bloodontheclocktower.com/images/5/54/Icon_spy.png)
Es muy importante la diferencia en el cálculo de estas probabilidades respecto las anteriores para entender por qué aquí hemos SUMADO la probabilidad de que el espía esté en un lado a la probabilidad a la probabilidad de que esté en el otro, en lugar de MULTIPLICAR la probabilidad de tener un bueno a un lado y ADEMÁS un bueno al otro como hicimos en el cálculo inicial.
Dos pequeños matices, aquí el proceso de suma está bien, y la explicación del espía también pero falta una cosa en este escenario: aparte de que el vecino sea el espía es necesario que el otro vecino registre como bueno, puesto que si el otro vecino registrase como malo que no tiene capacidad de ocultarse, nuestra habilidad a ese sí que lo detectaría bien.
En este caso el calculo quedaría: 2(1/11 x 1/2 x 8/11) =0.661 = 6.61%
*Al usar 8/11 asumimos para simplificar que no hay un recluso al lado que registrase como malo, el calculo real se haría mediante la suma de dos escenarios, uno donde no hay recluso (la formula de arriba, mutiplicando al final x 1/2 asumiendo que todos los forasteros salen con la misma probabilidad) + un escenario donde hay recluso (y por tanto solo registran como buenos 7/11 y de nuevo la probabilidad de este escenario es 1/2); el porcentaje de esta recalculación es= 0.0619= 6.2% pero como esta habilidad también tiene un puede, queda a discreción del narrador cuando el recluso registrará como malo o no, oscilando entre ambos valores según su decisión.
El segundo matiz es que, de nuevo aplicamos el factor pesimista y asumimos que el espía siempre va a registrar como bueno (que es lo que debería pasar en este caso la mayoría de veces).
Cita de: Calvo en 17 de Febrero de 2024, 11:52:05
4) La probabilidad de que tú estés envenenado y estés recibiendo información falsa. Para eso tiene que estar el envenenador en juego (1/2 probabilidades por el mismo motivo de configuración de partida) y además debe haberte elegido a ti (dado que los "malos" se conocen" elegirán a uno de los 9 "buenos", es decir 1/9 x 1/2 probabilidades de ser el envenenado = 1/18 = 0,055 = 5,5%
(https://wiki.bloodontheclocktower.com/images/b/b1/Icon_poisoner.png)
Este cálculo de aquí es de los más complejos porque ya entran decisiones de otros jugadores, añadiré matices analizando situaciones óptimas que se podría alejar de estas aproximaciones.
Pese a que estoy de acuerdo con usar la aproximación de 1/9 como factor de que te escoja un envenenador aleatoriamente, hay ciertos escenarios que pueden alterar estos números, solo los comentaré porque son muy subjetivos: un envenenador jugando "óptimo" (no pasa) debería darle más peso a envenenar a alguno de los vecinos del equipo malo (siendo un máximo de 6) para así optimizar la probabilidad de cubrir a un compañero del mal de un posible vecino empático, o si es muy egoísta a uno de sus dos vecinos, pudiendo llegar la probabilidad al 1/2 (aquí entran en juego otros factores como que hay más habilidades que pueden sacar información y que si uno de los compañeros es espía, ese esfuerzo de cubrirle no sería tan útil, pero se comenta igual).
Aún así con los cálculos de Calvo, se habría calculado la probabilidad de que "mi detección pueda estar alterada" y volviendo al escenario pesimista de que el narrador siempre nos de info falsa en este caso, pregunto entonces
¿Con mi habilidad alterada, cuando podría recibir solo un cero? Efectivamente, cuando al menos uno de mis vecinos sea malo (49%).
Entonces la probabilidad de tener al menos un vecino malo y recibir un 0 porque aleatoriamente el envenenador me ha escogido es de:
1/2*1/9*0,49=0.027=2,7%
Vale, después de todo este pergamino de cálculos quien haya llegado aquí se estará diciendo: Sí, muy bien, pero,
¿de qué me sirve todo esto? Pues la respuesta es que, con estos apartados de este post hemos calculado (si no se nos ha pasado nada) los diferentes escenarios donde un cero de empático puede ser falso (siempre desde la visión más pesimista posible).
Entonces podemos decir que, la probabilidad de que un 0 en la primera noche sea falso es: o el "escenario del borracho pesimista" o el "escenario del vecino espía" o el "escenario de vecino de malos envenenado".
Esto está pidiendo a gritos la
Regla de la Suma: P(0 falso)= 3,06 + 6,20 +2,7= 11,96 %
Pues último paso, hacer la complementaria, vamos a calcular la probabilidad de que un cero sea NO falso, osea verdadero:
P(0 verdadero)
%= 100 - P(0 falso)
%= 100-12.37=88,04%
Las probabilidades de que la primera noche, cuando la gente aún no tiene mucha información privilegiada (presuntamente) para perjudicarme, de que mi 0 de empático sea verdad son de un
88,04%, recordemos en un escenario pesimista (y también haciendo algunas aproximaciones de malos no óptimos).
Obviamente estos cálculos no son ley en piedra, porque existen otros factores más difíciles de analizar, alguno como la "maldad del narrador" ya se comentó, pero hay otros casos, como por ejemplo que cierto jugador tenga más tendencia a ser el foco de ataques de los malos, esto podría ser un modificador que alterase ese 1/9 del envenenador por ejemplo (llegando al caso más extremo de una persona que nos odie de multiplicar por 1 en vez de 1/9).
Por ahora lo dejo aquí y así repaso que no se nos escapase nada.
Cita de: Dumis en 18 de Febrero de 2024, 03:10:59
Cita de: Calvo en 17 de Febrero de 2024, 11:52:05
Vamos a calcular las probabilidades de que, siendo el propio jugador el que recibe la información, reciba un "ninguno/cero" en una partida de 12 jugadores.
Nosotros somos uno de esos 12 jugadores, y somos del alineamiento "bueno". Eso deja a 11 jugadores: otros 8 "buenos" y a 3 "malos" (por las reglas de configuración de la partida). Por tanto tenemos 8/11 probabilidades de tener un bueno a un lado. Para que calcular que ADEMÁS tengamos a un bueno al otro tendremos que multiplicarlo por las 7/10 probabilidades de que al otro lado TAMBIÉN haya un bueno (hemos restado 1 del numerador ya que eliminamos la opción que condiciona este evento, y hemos reducido en uno el numerador porque se ha reducido en uno el número de jugadores).
Es decir 8/11 × 7/10 = 56/110 = 0,51 (aprox) = 51%
Matizaría una cosa aquí, este calculo es válido en este escenario para cualquier jugador cuyo alineamiento sea bueno en el segundo 0 desde que ve su ficha, podríamos llamarlo P(A)= Probabilidad de que mis dos vecinos sean también buenos. Aunque luego este cálculo se aplique para el empático, valdría para cualquier personaje que tenga este alineamiento, un Chef podría llegar hasta este dato la primera noche.
Ahora aquí tenemos otro dato: nos han dicho que nosotros como empáticos tenemos un 0 y esto nos abre varios posibles escenarios, comentaré aquí los dos que nos interesan:
- Que nuestro 0 sea verídico y ambos vecinos sean buenos. (Es lo que queremos saber a fin de cuentas, si nos podemos fiar de nuestros vecinos)
- Que en el caso de que nuestra percepción estuviese alterada por algún efecto, el narrador decidiese mentirnos, y por tanto al menos uno nuestros vecinos es malo. (Con un pequeño matiz, hay varios tipos de alteración, podría ser alteración 1, o alteración 2 o alteración 3 ...) Podriamos resumir en que nuestro 0 sea falso
Si nos fijamos ambos escenarios conectan dos sucesos bajo el término Y, por lo que guiándonos por el glosario sabemos que vamos a tener que hacer intersecciones de sucesos, y por tanto la Regla de la Multiplicación (ya os adelanto que alguna cosa más, que para eso está el glosario).
En concreto nos centraremos en el segundo escenario: por ir agilizando pasos, quizás nos interese saber la probabilidad de que al menos uno de nuestros vecinos sea malo. Esto se puede calcular viendo todas las opciones posibles:
P(Al menos un vecino malo)= P(el vecino de mi izquierda malo y el derecho bueno) o P(el vecino de la izquierda bueno y el derecho malo) o P(El vecino de la izquierda malo y el vecino de la derecha malos) ; si el glosario ha quedado claro aquí deberías ver 3 sumas de probabilidades, donde cada una de ellas tiene que aplicar la regla de la multiplicación dentro de sus paréntesis, y siendo el segundo suceso de cada cual una probabilidad condicionada (pues el número de malos disponibles y el total de roles disponibles disminuye).
Esto aunque calculable puede ser algo tedioso, así que aplicando de nuevo el glosario podemos darle una vuelta de tuerca:
¿Qué significa que al menos uno de mis vecinos sea malo? Pues, intentado estirar un poco la lógica, significa que no se cumple el suceso "mis dos vecinos sean ambos buenos", que es una probabilidad que Calvo ya calculó.
Osea que yo puedo calcular que la probabilidad de al menos un vecino malo es la opuesta/complementaria a la probabilidad de que mis dos vecinos sean ambos buenos.
P(Al menos un malo)= 1- 0.51= 0.49= 49% Esto que hemos calculado aquí, de nuevo es una probabilidad a segundo 0, con nada de información, pero esta nos va a ser más útil para algunos escenarios. Esto también nos da una información ajena al proposito del post, pero que nos da pistas de como de balanceado está en juego, pues para este numero de jugadores y esta disposición, un jugador nada más ver su ficha de bueno tiene más o menos la mitad de probabilidades de poder fiarse de sus dos vecinos o no.
Cita de: Calvo en 17 de Febrero de 2024, 11:52:05
1) La probabilidad de que seas un borracho. En una partida de 12 jugadores hay 2 forasteros en juego, de 4 posibles. Es decir, 1/2 - la mitad de las veces habrá un borracho* (esto no es exactamente así, ya que depende del narrador y es más frecuente añadir al borracho que a otros forasteros por motivos subjetivos, pero asumiremos que es igual de probable para esta "práctica"). La probabilidad de que nosotros seamos ese borrachos es de 1 de 9 jugadores buenos posible. Es decir, 1/2 x 1/9 = 1/18 probabilidades de ser el borracho.
(https://wiki.bloodontheclocktower.com/images/4/4a/Icon_drunk.png)
Pequeña corrección, no todos los jugadores tienen que tener sospechas, un borracho siempre cree que es un aldeano, por lo que el otro forastero no tiene que preocuparse de que es borracho, por lo que eso deja a 8 personas preocupadas.
El cálculo entonces sería 1/2 x 1/8= 1/16 de probabilidades de ser el borracho. Pero a nosotros no nos llega con saber si somos el borracho, estamos buscando un escenario donde estamos ebrios y además nos han dicho algo.
Un pequeño matiz es que, como muchas habilidades de este juego, el borracho tiene el modificador puede lo cual implica que está a discreción del narrador elegir el resultado, para favorecer los cálculos estamos poniéndonos en el caso más pesimista donde siempre que nos afecte algo así nos van a dar información falsa, pero como recordatorio de que la probabilidad podría ser menor según cada narrador (habría que multiplicar por el factor "maldad del narrador" que podría ser menor que 1).
En este escenario pesimista, ¿Cuando podríamos recibir un cero, el cual en este escenario nada amigable va a ser mentira al tener la habilidad alterada al ser borrachos? Pues si tiene que ser mentira implica que "al menos uno de nuestros vecinos sea malo" (49%).
Por tanto la probabilidad de que ese cero sea un "cero de borracho pesimista" es:
1/2*1/8*0.49= 0.03=3.06%
Cita de: Calvo en 17 de Febrero de 2024, 11:52:05
2) La probabilidad de que uno de tus vecinos sea el espía, que es un jugador "malo" pero "parece bueno" al respecto de esta habilidad. Al haber 2 esbirros en juego de 4 posibles existe 1/2 probabilidades de que el espía esté en juego (al igual que con el borracho, esto es impreciso ya que el espía es un rol que no suele añadirse a la partidas de forma proporcional, pero asumiremos que sí para este cálculo). Y ese espía tiene que estar en uno de los lados. Es decir, 1/11 probabilidades de estar en un lado + 1/11 probabilidades de estar en el otro = 2/11 x 1/2 = 1/11 = 0,091 = 9,1%
(https://wiki.bloodontheclocktower.com/images/5/54/Icon_spy.png)
Es muy importante la diferencia en el cálculo de estas probabilidades respecto las anteriores para entender por qué aquí hemos SUMADO la probabilidad de que el espía esté en un lado a la probabilidad a la probabilidad de que esté en el otro, en lugar de MULTIPLICAR la probabilidad de tener un bueno a un lado y ADEMÁS un bueno al otro como hicimos en el cálculo inicial.
Dos pequeños matices, aquí el proceso de suma está bien, y la explicación del espía también pero falta una cosa en este escenario: aparte de que el vecino sea el espía es necesario que el otro vecino registre como bueno, puesto que si el otro vecino registrase como malo que no tiene capacidad de ocultarse, nuestra habilidad a ese sí que lo detectaría bien.
En este caso el calculo quedaría: 2(1/11 x 1/2 x 8/11) =0.661 = 6.61%
*Al usar 8/11 asumimos para simplificar que no hay un recluso al lado que registrase como malo, el calculo real se haría mediante la suma de dos escenarios, uno donde no hay recluso (la formula de arriba, mutiplicando al final x 1/2 asumiendo que todos los forasteros salen con la misma probabilidad) + un escenario donde hay recluso (y por tanto solo registran como buenos 7/11 y de nuevo la probabilidad de este escenario es 1/2); el porcentaje de esta recalculación es= 0.0619= 6.2% pero como esta habilidad también tiene un puede, queda a discreción del narrador cuando el recluso registrará como malo o no, oscilando entre ambos valores según su decisión.
El segundo matiz es que, de nuevo aplicamos el factor pesimista y asumimos que el espía siempre va a registrar como bueno (que es lo que debería pasar en este caso la mayoría de veces).
Cita de: Calvo en 17 de Febrero de 2024, 11:52:05
4) La probabilidad de que tú estés envenenado y estés recibiendo información falsa. Para eso tiene que estar el envenenador en juego (1/2 probabilidades por el mismo motivo de configuración de partida) y además debe haberte elegido a ti (dado que los "malos" se conocen" elegirán a uno de los 9 "buenos", es decir 1/9 x 1/2 probabilidades de ser el envenenado = 1/18 = 0,055 = 5,5%
(https://wiki.bloodontheclocktower.com/images/b/b1/Icon_poisoner.png)
Este cálculo de aquí es de los más complejos porque ya entran decisiones de otros jugadores, añadiré matices analizando situaciones óptimas que se podría alejar de estas aproximaciones. Pese a que estoy de acuerdo con usar la aproximación de 1/9 como factor de que te escoja un envenenador aleatoriamente, hay ciertos escenarios que pueden alterar estos números, solo los comentaré porque son muy subjetivos: un envenenador jugando "óptimo" (no pasa) debería darle más peso a envenenar a alguno de los vecinos del equipo malo (siendo un máximo de 6) para así optimizar la probabilidad de cubrir a un compañero del mal de un posible vecino empático, o si es muy egoísta a uno de sus dos vecinos, pudiendo llegar la probabilidad al 1/2 (aquí entran en juego otros factores como que hay más habilidades que pueden sacar información y que si uno de los compañeros es espía, ese esfuerzo de cubrirle no sería tan útil, pero se comenta igual).
Aún así con los cálculos de Calvo, se habría calculado la probabilidad de que "mi detección pueda estar alterada" y volviendo al escenario pesimista de que el narrador siempre nos de info falsa en este caso, pregunto entonces ¿Con mi habilidad alterada, cuando podría recibir solo un cero? Efectivamente, cuando al menos uno de mis vecinos sea malo (49%).
Entonces la probabilidad de tener al menos un vecino malo y recibir un 0 porque aleatoriamente el envenenador me ha escogido es de:
1/2*1/9*0,49=0.027=2,7%
Vale, después de todo este pergamino de cálculos quien haya llegado aquí se estará diciendo: Sí, muy bien, pero, ¿de qué me sirve todo esto?
Pues la respuesta es que, con estos apartados de este post hemos calculado (si no se nos ha pasado nada) los diferentes escenarios donde un cero de empático puede ser falso (siempre desde la visión más pesimista posible).
Entonces podemos decir que, la probabilidad de que un 0 en la primera noche sea falso es: o el "escenario del borracho pesimista" o el "escenario del vecino espía" o el "escenario de vecino de malos envenenado".
Esto está pidiendo a gritos la Regla de la Suma: P(0 falso)= 3,06 + 6,20 +2,7= 11,96 %
Pues último paso, hacer la complementaria, vamos a calcular la probabilidad de que un cero sea NO falso, osea verdadero:
P(0 verdadero)%= 100 - P(0 falso)100= 100-12.37=88,04%
Las probabilidades de que la primera noche, cuando la gente aún no tiene mucha información privilegiada (presuntamente) para perjudicarme, de que mi 0 de empático sea verdad son de un 88,04%, recordemos en un escenario pesimista (y también haciendo algunas aproximaciones de malos no óptimos).
Obviamente estos cálculos no son ley en piedra, porque existen otros factores más difíciles de analizar, alguno como la "maldad del narrador" ya se comentó, pero hay otros casos, como por ejemplo que cierto jugador tenga más tendencia a ser el foco de ataques de los malos, esto podría ser un modificador que alterase ese 1/9 del envenenador por ejemplo (llegando al caso más extremo de una persona que nos odie de multiplicar por 1 en vez de 1/9).
Por ahora lo dejo aquí y así repaso que no se nos escapase nada.
Excelente exposición, detallada, fácil de seguir y muy muy pedagógica.
Quizá este sea un muy buen momento para exponer el llamado
"falacia del fiscal", en el que muchos caemos de forma irracional y persistente, y que fundamentalmente consiste en no tener en cuenta a qué suceso estamos aplicando una probabilidad e ignorar la tasa base que condiciona el resultado.
Corto y pego un ejemplo creo que muy clarificador que utiliza Steven Pinker en "Racionalidad":
"
Durante el juicio de 1995 de O. J. Simpson, la estrella del fútbol acusada de
asesinar a su esposa Nicole, un fiscal llamó la atención sobre su historial de
palizas. Un miembro del Dream Team de abogados defensores de Simpson
respondió que muy pocos maltratadores llegan a matar a sus mujeres, quizá
uno de cada dos mil quinientos. Una profesora inglesa, Elaine Scarry,
detectó la falacia. Nicole Simpson no era simplemente una antigua víctima
de agresiones. Era una víctima de agresiones que había sido degollada. La estadística relevante es la probabilidad condicional de que alguien matara a
su mujer dado que él había maltratado a su mujer y que su mujer había sido
asesinada por alguien. Esa probabilidad es de ocho de nueve."
Por ejemplo, aquí podemos estar tentados a recalcular,
erróneamente, la probabilidad de que el 0 de empático sea falso una vez conocido el dato de que el 88,04% de las veces es verdadero (que implica también lo contrario: que el 11,96 de las veces es falso) multiplicando ese 88,04 / 100 por el 51/100 inicial = 44,9%. Este razonamiento es erróneo: la probabilidad de que un de empático sea verdadero no es del 44,9 ya que es el 88,04 es una
probabilidad condicionada por el suceso anterior, es decir, ya teníamos un 0 de empático. Ese 44,9% sería la probabilidad antes de obtener ningún resultado de recibir un 0 y que además sea verdadero, lo cual tiene poca utilidad "durante la partida". El dato "relevante" una vez que has obtenido el 0 es que ese cero será cierto el 88,04 % de las veces, una probabilidad relativamente alta.
Y aquí llega "la magia": todo esto es lo que nos dice la probabilidad... ahora tendríamos que tener en cuenta qué es lo que hace...
la emoción. La subjetividad del narrador puede condicionar profundamente este 0 de émpata. ¿Por qué? Porque cabe la posibilidad de que el émpata, especialmente si está sentado al lado del demonio o de dos esbirros, sea "emborrachado" deliberadamente por el narrador para "esconder" y no dejar expuesto al equipo "de los malos" (ya que una función del narrador es favorecer que la partida se oriente hacia la incertidumbre y a los "finales épicos y con clímax final")
Perdón por mi desconocimiento sobre el juego en el que haces las estadísticas, Sangre en la Torre del Reloj... pero...
Los cálculos los basas en 'que probabilidad hay de que Fulanito diga tal cosa'. ¿Puede mentir Fulanito? Porque entonces estás haciendo un cálculo que realmente está basado en 'la información que tiene Fulanito' versus 'la información que dice Fulanito'.
Cita de: Celacanto en 17 de Febrero de 2024, 18:19:04
Por qué conozco a calvo en persona, sino investigaría a ver si es una IA buscando que le introduzcan texto para sacar información
Iba a seguir con el papel de IA, pero no quiero que me coma el personaje. En verdad soy un pobre chaval al que ahora le sobra tiempo y Calvo engatusa.
Cita de: Calvo en 18 de Febrero de 2024, 12:00:47
Excelente exposición, detallada, fácil de seguir y muy muy pedagógica.
Quizá este sea un muy buen momento para exponer el llamado "falacia del fiscal", en el que muchos caemos de forma irracional y persistente, y que fundamentalmente consiste en no tener en cuenta a qué suceso estamos aplicando una probabilidad e ignorar la tasa base que condiciona el resultado.
Cuando me contaste esto me pareció muy interesante, a ver si mañana me animo y enganchando con la falacia del fiscal comento la "maldición del protagonista" donde todo el mundo se cree que le atacan solo a él/ella.
Cita de: Lopez de la Osa en 19 de Febrero de 2024, 20:01:59
Perdón por mi desconocimiento sobre el juego en el que haces las estadísticas, Sangre en la Torre del Reloj... pero...
Los cálculos los basas en 'que probabilidad hay de que Fulanito diga tal cosa'. ¿Puede mentir Fulanito? Porque entonces estás haciendo un cálculo que realmente está basado en 'la información que tiene Fulanito' versus 'la información que dice Fulanito'.
En principio los que hay hasta ahora están basados en información que un jugador recibe del/a narrador/a, es decir, aún no entra el factor "esta persona me está mintiendo". Y solo se pueden recibir mentiras de esta fuente cuando sufres alguno de los efectos negativos que se van comentando en el post, luego siempre quedaría a discreción de quien narre si mentirte o no, por eso calculamos el escenario más pesimista de todos, que sería que siempre te mientan.
Luego el otro ejercicio que comentaba Calvo sería calcular las probabilidades cuando es otra persona quien lo dice, que ahí si que es algo más complejo porque no somos robots, y cada quien puede mentir por muchos motivos (como para esconder un rol importante), pero es que justo el empático es un rol bastante fuerte así que quizás se pueda simplificar el escenario asumiendo que solo me van a mentir jugadores malos (de los cuales sabemos la proporción en la partida), es hacer la prueba del cálculo, a ver qué sale.
Pero eso, de momento los cálculos que hay son de fuentes que no tienen ningún interés por mentirnos más allá de estar afectados por alguna condición y hemos calculado la probabilidad de sufrir esas condiciones.
Citar
el escenario más pesimista de todos, que sería que siempre te mientan
Si siempre mienten... ya sabes que te mienten; en este caso, ¿necesitas estadísticas?
Citar
se pueda simplificar el escenario asumiendo que solo me van a mentir jugadores malos
Esto es 'equivocado'; rara es la partida en la que los jugadores 'buenos' no mienten, por el motivo que sea.
----------------------------------------------
Aplicar la estadística a la fe, no lo veo.
Cita de: Lopez de la Osa en 20 de Febrero de 2024, 14:24:34
Si siempre mienten... ya sabes que te mienten; en este caso, ¿necesitas estadísticas?
Sí, a la vista está de que el porcentaje no es 100%, aquí estamos asumiendo que el narrador siempre te miente, pero solo tiene la posibilidad de mentirte
cuando sufres una condición negativa, no te puede mentir cuando le dé la gana, tiene unas normas, y toda la estadística que hay calculada es para ver con qué frecuencia vas a recibir esas condiciones.
Llevado a otro ejemplo: si cada vez que sacas un 6 en un dado, haces un golpe crítico,
siempre ¿tiene sentido calcular como de frecuente es sacar un 6 en un dado para una jugada?
Cita de: Lopez de la Osa en 20 de Febrero de 2024, 14:24:34
Esto es 'equivocado'; rara es la partida en la que los jugadores 'buenos' no mienten, por el motivo que sea.
----------------------------------------------
Aplicar la estadística a la fe, no lo veo.
Es lo que tienen las asunciones, que al final simplificas escenarios que pueden ocurrir. Pero es que este caso lo comento en el post ya: estoy de acuerdo en que los jugadores buenos mienten, de hecho lo comento ahí, el principal motivo es para esconder su rol verdadero. Pero si quieres planteamos el escenario de bueno mintiendo.
Nuestro protagonista es un bueno, gana con los buenos y por tanto su objetivo es juntar toda la información verdadera para resolver la parte del rompecabezas.
El rol de empático es un rol fuerte, que por norma general el equipo malo querrá inutilizar de alguna manera.
Lo "común" es que si un bueno miente, sea un rol importante intentando esconderse en roles que puedan pasar más desapercibidos del foco de los malos.
En el contraescenario que planteas para no poder hacer esta asunción tendríamos: un personaje bueno, que sabe que gana con los buenos, que no es el empático, pero ha decidido que para defender su rol, va a utilizar de farol que es el empático (algo válido, porque puede ganar tiempo dependiendo del pueblo, pero no sé como de frecuente), pero que además ha dicho: "a pesar de que yo tengo que ayudar a resolver el puzzle, no solo voy a mentir con mi rol, sino que voy a esparcir información errónea de un rol que no tengo, sin ningún tipo de información que la respalde y además una de las informaciones más absolutas y que pueden ser más perjudiciales (0=mis vecinos son buenos, confirmando 3 roles)".
Sin querer sacar una norma de esto, porque al final esto no pretende ser una hoja de ruta, no va a ser la estrategia general de un bueno que gana con los buenos. Habrá casos que lo hagan para romper algún meta o generar caos, pero igual que puede haber algún loco que como esbirro revele en plaza a su demonio al empezar el juego porque "patata".
Escenarios que sí que son más factibles de un bueno mintiendo diciendo ser empático y dando su info, suelen estar respaldados por su propio poder, te pongo un ejemplo: yo soy otro rol que sabe que otro jugador es de alineamiento malo, y resulta que en esta partida ese malo es mi vecino, ahí puede que entre en mis planes hacer el teatrillo de que soy el empático y he recibido un 1 (tengo un vecino malo) y luego yo me encargue de empujar al pueblo para matar al que yo sé fijo que es malo (y aún así esta jugada que es beneficiosa sigue siendo arriesgada porque en mi teatrillo puedo estar salvando a mi otro vecino malo que no sé, pero es para que veas que los buenos mentirían siendo un rol más potente para intentar remar en favor del pueblo).
Digamos que mentir siendo bueno está a la orden del día, mentir diciendo que eres empático no tanto, y si además vas a mentir diciendo que tienes un 0 (y por tanto crees que si tu información no está alterada, tus dos vecinos son buenos) estás haciendo un salto que esperemos tenga suficiente red de seguridad (porque tus poderes han podido validar otra cosa).
Habrá casos de buenos mintiendo diciendo que son empáticos, pero, asumiendo que la gente juega bien, cuando hagan estas jugadas arriesgadas estarán respaldadas por su poder o deducciones, por lo que aunque me mientan con su rol, si su fuente de información es legítima los puedo incluir en el grupo de "escenarios beneficiosos", de nuevo, no es algo que pase siempre y para tomar esos riesgos es porque tendrán algo que les respalden.
¿Quién no tiene tanto riesgo para mentir diciendo que es empático? Un malo. No tiene que hacer tanto juicio de valores por tanto si pudiésemos "parametrizar todas sus decisiones" y hacer la Regla de la Multiplicación (ilusos de nosotros) tendría muchos menos eslabones que la de los buenos.
Un malo puede llegar a saber si hay un empático en juego, y además conoce a los otros malos y por tanto sabe el alineamiento de sus vecinos que podrán ser:
- Los dos buenos, lo cual le da una coartada muy buena si quiere farolear y decir que tiene un 0.
- Al menos uno malo, por lo que si farolea diciendo que tiene un 0 podría estar cubriendo a su/s vecino/s malo/s
Donde podría estar la chicha que le interesa a Calvo es en ver como de probable serían estos escenarios.
El primero al final se resume en un malo fingiendo ser un rol de información y cubriéndose con información verídica que ya conoce.
El segundo es un malo que además está intentando cubrir a sus compañeros, lo cual si se le pilla en algo así, su intento de protegerles podría condenarles.
No conozco los juegos referenciados, pero si queréis modelar matemáticamente decisiones humanas basadas en incentivos, la herramienta que estáis buscando se llama teoría de juegos.
La estadística está para modelar variables aleatorias. Probabilidad de sacar al menos un 6 cuando tiras 3d6 y cosas así.
Cita de: Hollyhock en 20 de Febrero de 2024, 18:15:20
No conozco los juegos referenciados, pero si queréis modelar matemáticamente decisiones humanas basadas en incentivos, la herramienta que estáis buscando se llama teoría de juegos.
La estadística está para modelar variables aleatorias. Probabilidad de sacar al menos un 6 cuando tiras 3d6 y cosas así.
Soy plenamente consciente de la teoría de juegos, de hecho me gustaría hacer otro tema hablando del Clocktower para discutir la labor del narrador en el proceso de brindar información y si BotC es un juego de información perfecta y completa o no. También me gustaría en un futuro hablar de cómo se desarrolla un metajuego y esto deriva en pseudo equilibrios de Nash con sus propios sesgos.
Si lo que pretendía expresar tu mensaje (que puedo estar interpretándolo mal) es que la teoría de juegos es algo totalmente excluyente a la estadística no puedo estar más en desacuerdo. Precisamente una aproximación de la teoría de juegos a los juegos de información imperfecta o incompleta es el estudio de mejores jugadas en base al worst-case escenario que, en concreto es lo que se está planteando hasta ahora, con probabilidades y todo, y sigue siendo teoria de juegos.
El ejemplo que pones del dado, entiendo que es sin pararte a leer el post de glosario/cálculos, porque es algo que se comenta varias veces creo que incluso en el glosario, y es que los primeros cálculos que realizamos son cálculos de probabilidad en base a un setup y cuando no ha sido así se ha indicado.
Pero a modo de resumen: la teoría de juegos y la estadística van de la mano en muchos escenarios y en este en concreto, por el tipo de diseño y anécdota reflejada se sigue necesitando la estadística.
El hilo ha empezado con Calvo descubriendo por primera vez formulas de estadística introductorias y a continuación ha derivado en hablar de cuándo va a mentir fulano cuando le toca tal rol oculto.
Lo que pretendía expresar mi anterior mensaje es que esto no va a llegar a ninguna parte.
Cita de: Hollyhock en 20 de Febrero de 2024, 23:21:58
El hilo ha empezado con Calvo descubriendo por primera vez formulas de estadística introductorias y a continuación ha derivado en hablar de cuándo va a mentir fulano cuando le toca tal rol oculto.
Lo que pretendía expresar mi anterior mensaje es que esto no va a llegar a ninguna parte.
El hilo va de acercar una visión estadística que muchas veces se pasa por alto/se malinterpreta. A continuación se ha profundizado sobre eso hasta que se ha intentado desviar por otro lado, a pesar de los intentos de reencauzarlo.
El que quiera luego leer otras cosas entre líneas es libre de hacerlo, pero llegar va a llegar hasta donde nos propusimos como meta original.
Ya que mencionáis la Teoría de Juegos y sin ánimo de ensuciar el tema, simplemente hacer mención de que en el magnífico canal de Youtube "Veritasium" y "Veritasium en español" hay un reportaje sobre el dilema del prisionero. Ideal para los que, como yo, solo tenemos conocimientos básicos
Cita de: AJ en 21 de Febrero de 2024, 08:06:46
Ya que mencionáis la Teoría de Juegos y sin ánimo de ensuciar el tema, simplemente hacer mención de que en el magnífico canal de Youtube "Veritasium" y "Veritasium en español" hay un reportaje sobre el dilema del prisionero. Ideal para los que, como yo, solo tenemos conocimientos básicos
¡Es un vídeo precioso e interesantísimo! En su momento lo estuve pasando por el grupo de Clocktower.
Mi idea cuando me maneje un poco más por la BSK es hacer un post como los de Calvo con ese vídeo y trasladarlo al Clocktower, comentando las diferencias (por ejemplo el hecho de que hay equipos y las interacciones entre ambos pueden tener distintas magnitudes).
Pero estoy de acuerdo contigo, para una primera pincelada es super útil
Desgraciadamente, no he podido leerme el hilo al completo por falta de tiempo, pero me parece una idea muy interesante que se hable, acerquen esos conceptos estadísticos al público no especializado. De hecho, si pudiera y sacara algo de tiempo, os echaría una mano. Algo así fue lo que intenté hace unos años cuando comencé a explicar algunos conceptos de teoría de juegos de manera más o menos práctica (supongo que por ahí andarán los enlaces).
Respecto al primer hilo de Calvo, entiendo que ha hecho un copy/paste más o menos procesado, pasando por el filtro de su propio desconocimiento y/o ganas de aprender de esta materia. Lo poco que he podido leer, creo que no es lo más didáctico y hay cosas que se podrían simplificar y/o explicar de un modo algo más accesible (de hecho si saco algo de tiempo, intentaré reformularlo). Por favor, entended esto como una crítica constructiva, como algo para que el hilo mejore. Lo que sí creo necesario modificar ya, es el uso del término probabilidad condicionada. Tal y como se usa prácticamente al empezar el post, es incorrecto. Cuando el resultado de un suceso depende de otro suceso anterior, no se llama probabilidad condicionada. No quiero entrar en la definición de probabilidad condicionada, que necesitaría tener asimilados otros conceptos más básicos.
En lo referente a lo que se habla en el post inicial, es mejor hablar de sucesos independientes (cuando el resultado no depende de un suceso anterior, como por ejemplo tirar un dado), o de sucesos dependientes, siendo un ejemplo típico sacar una carta de una baraja o un cubito de una bolsa. A medida que se sacan cartas/cubitos, la probabilidad que se tiene de sacar uno determinado, varía. Pero eso son sucesos dependientes, no es probabilidad condicionada.
Ruego me disculpéis la pedantería, pero creo que es mejor asentar los términos adecuados para no perderse luego.
Saludos!
Bueno, pues empecemos por lo básico. Pero no poniendo copypastes de libros de texto, sino intentando entender y contextualizar las cosas que se van diciendo.
La probabilidad de que suceda algo es = casos favorables / casos posibles
Si tiro 1d6, la probabilidad de sacar un número concreto (por ejemplo, un 3) es 1/6.
La probabilidad de sacar 5 ó más es 2/6. Porque hay 2 resultados que cumplen esto (el 5 y el 6), y 6 resultados disponibles.
La probabilidad de sacar 4 ó más es 3/6.
Así que con un 1 dado, estas son las probabilidades de sacar:
Pr(un 6) = 1/6 = 16,67%
Pr(5 ó más) = 2/6 = 33,33%
Pr(4 ó más) = 3/6 = 50%
Pr(3 ó más) = 4/6 = 66,67%
Pr(2 ó más) = 5/6 = 83,33%
Así que tirando un dado e intentando sacar un número o más, que en juegos solemos llamar "asignar una dificultad a la tirada", tenemos una bonita distribución de probabilidades.
No hay que desdeñar el dado básico. Hay muchos juegos que utilizan métodos muy extraños de símbolos diferentes que se comparan y se combinan y al final resultan en unas probabilidades no demasiado alejadas de tirar un dado contra una dificultad. Así que si necesitáis un motor aleatorio sencillo y fiable para un juego de mesa, podéis utilizar un dado y luego pensar una fórmula que calcule una dificultad entre 2 y 6 que haya que sacar en ese dado.
Sucesos Independientes, Sucesos Dependientes
Dos sucesos son independientes si uno no está condicionado por el otro. ¿Qué significa esto? Vamos a verlo.
Si he tirado 1d6 y he obtenido cuatro veces seguidas un "6", ¿cuál es la probabilidad de que vuelva a salir otro 6?
La probabilidad es 1/6. Porque al dado le da igual lo que haya sacado antes. La estructura del dado no cambia, siempre muestra la misma probabilidad estadística, así que sacar cada número siempre tiene la misma probabilidad.
Pero si la pregunta cambia a ¿cuál es la probabilidad de sacar cinco veces seguidas un "6"?, entonces esto ya es más difícil.
Pr(cinco "6"s seguidos) = Pr(un 6)*Pr(un 6)*Pr(un 6)*Pr(un 6)*Pr(un 6)=(1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6) = (1/6)^5 = 0,013%
Y esta fórmula puede descomponerse de esta forma (multiplicar cinco veces lo que un único seis) precisamente porque a un dado le da igual lo que haya sacado antes, así que cada una de las cinco tiradas es independiente del resto.
Sacar cartas de un mazo no es así. Al sacar cartas de un mazo, el mazo cambia, así que ya no le da igual lo que has sacado previamente. En una baraja española hay 40 cartas (10 oros, 10 bastos, 10 copas, 10 espadas).
La probabilidad de sacar un oro es 10/40 = 1/4. Pero si has sacado cuatro oros seguidos, la probabilidad de sacar un quinto es 6/36 = 1/6. Al intentar sacar el quinto oro, sólo hay 6 oros dentro del mazo y el mazo sólo tiene 36 cartas en total. Porque hay 4 oros que están fuera.
La probabilidad de sacar cinco oros seguidos ya no puede descomponerse en (algo)^5, porque la probabilidad de sacar cada oro es diferente. Cada vez que sacamos una carta, el mazo cambia:
Pr(cinco oros seguidos) = Pr(1er oro)*Pr(2º oro)*Pr(3º oro)*Pr(4º oro)*Pr(5º oro) = 10/40 * 9/39 * 8/38 * 7/37 * 6/36 = 0,04%
Sacando cartas de un mazo, haces que si sale mucho de algo, sacar eso mismo se vuelve más difícil, creando una especie de corrección al azar que va ocurriendo, hasta que una regla haga que el mazo se vuelva a rebarajar/reformar.
Distribuciones homogéneas
Tirar 1d6 es una variable aleatoria homogénea, porque cada cara tiene las mismas posibilidades de salir. En este caso, 1/6.
En general, tirar un único dado de cualquier número de caras es una variable aleatoria homogénea (mientras éste sea una forma geométrica regular):
1d4: 25% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 4.
1d6: 16,67% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 6.
1d8: 12,5% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 8.
1d10: 10% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 10.
1d12: 8,33% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 12.
1d20: 5% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 20.
¿De dónde salen estos números de probabilidad? De la fórmula anterior de "casos favorables/ casos posibles". Por ejemplo, en 1d12 el 8,33% es el resultado de dividir 1/12.
A cada uno de estos dados se le puede hacer el tratamiento de "asignarle una dificultad" y tirarlo para intentar sacar cierto resultado o más, dando lugar a un abanico de probabilidades entre muy fácil y muy difícil. Sería como lo que he expuesto del dado de seis en mi anterior post, pero seguramente con más escalones porque casi todos los dados tienen más caras.
El más fácil de ver sería un dado de 10, porque los número salen redondos:
Pr(un 10) = 1/10 = 10%
Pr(9 ó más) = 2/10 = 20%
Pr(8 ó más) = 3/10 = 30%
Pr(7 ó más) = 4/10 = 40%
Pr(6 ó más) = 5/10 = 50%
Pr(5 ó más) = 6/10 = 60%
Pr(4 ó más) = 7/10 = 70%
Pr(3 ó más) = 8/10 = 80%
Pr(2 ó más) = 9/10 = 90%
Distribuciones no homogéneas
Los dados con formas raras no regulares, o los dados cargados no son homogéneos. No sacan cada resultado con la misma probabilidad.
Pero hay una forma muy sencilla de obtener probabilidades no homogéneas utilizando dados regulares, que es sumar sus resultados. El caso más típico es tirar 2d6, y sumar sus resultados. Normalmente decimos "tirar 2d6" y nos olvidamos de decir "sumarlos" pero el tema viene por sumarlos.
El quid está que las sumas muy altas o muy bajas necesitan que ambos dados sean altos o bajos y por tanto tienen menos probabilidad de salir que las sumas medias:
(http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/Math/immath/dice.png)
Hay sólo 1 forma de sacar un resultado de 2: un 1 en un dado, un 1 en el otro dado. ¿De dónde sale ese 2,8%? ¿Cómo calculas esta probabilidad?
Pr(sacar "ojos de serpiente" en 2d6) = Pr(sacar un 1 en 1d6)*Pr(sacar un 1 en 1d6)= (1/6)*(1/6)=1/36
¿A que se entiende más fácil de dónde viene?
Sacar una suma de 3 resulta más probable porque hay dos configuraciones que te lo dan: 1+2 y 2+1
Sacar una suma de 4 tiene tres configuraciones: 1+3, 2+2, 3+1
Sacar una suma de 5, tiene cuatro: 1+4, 2+3, 3+2, 4+1
Sacar una suma de 6, tiene cinco: 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1
Sacar una suma de 7, tiene seis, y es la que más tiene: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1
Y de ahí vamos para abajo. ¿Sois capaces de escribir la configuraciones para el resto de números?
¿Y cómo calculamos la probabilidad de cada resultado en 2d6? Porque con el 2 y con el 12 es fácil (1/6*1/6=1/36), pero el resto no lo veo...
Lo más fácil es considerar que tirando 2d6 obtenemos 36 permutaciones. Una permutación es un posible estado de los engranajes aleatorios que estamos considerando. Las permutaciones son lo que antes he llamado "configuración" y las 36 que hay son:
1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6
2-1, 2-2, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6
3-1, 3-2, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6
4-1, 4-2, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6
5-1, 5-2, 5-3, 5-4, 5-5, 5-6
6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6
Una permutación no es un resultado, ya que como el resultado de cada dado se suma, las 36 permutaciones se terminan convirtiendo en 11 resultados: del 2, al 12. Y como antes hemos visto, algunos resultados se consiguen con más permutaciones que otros.
Y esto es lo que nos da la probabilidad de cada número: permutaciones favorables / permutaciones totales.
Sacar un 2: 1 permutación = 1/36
Sacar un 3: 2 permutaciones = 2/36
Sacar un 4: 3 permutaciones = 3/36
Sacar un 5: 4 permutaciones = 4/36
Sacar un 6: 5 permutaciones = 5/36
Sacar un 7: 6 permutaciones = 6/36 = 1/6
Sacar un 8: 5 permutaciones = 5/36
Sacar un 9: 4 permutaciones = 4/36
Sacar un 10: 3 permutaciones = 3/36
Sacar un 11: 2 permutaciones = 2/36
Sacar un 12: 1 permutación = 1/36
Tirar 2d6 es diferente de tirar 1d12 no sólo porque con 2d6 no pueden sacar un "1" y el 1d12 sí. La mayor diferencia entre ambos es que la mayoría de tiradas de 2d6 van a concentrarse alrededor del 7, mientras que en el 1d12 estarán repartidas por todas partes.
¿Y para qué puedo utilizar esto?
En eurogames, múltiples dados sumados ofrecen consistencia, un único dado de rango similar ofrece más abundancia y escasez. Producir 2d3 tomates es más consistente que producir 1d4+1 tomates.
En juegos de guerra donde se tiran 2d6, la probabilidad de crítico (sacar el 12) o pifia (sacar un 2) es muy pequeña, mientras que los resultados bajos o intermedios pueden sacarse o superarse de forma consistente.
En un wargame con modificadores, tener que sacar 5 ó más con 2d6 es algo esperable. Es la probabilidad que un juego le ofrecería al jugador que hace las cosas bien. Por cierto, se puede calcular simplemente sumando la probabilidad de todas ellas (las que he puesto de color azul en el anterior párrafo), así que sería:
(4+5+6+5+4+3+2+1)/36 = 30/36 = 83,33%
Pero tener que sacar 10 ó más con 2d6, es el tiro a ciegas de quien está jugando mal:
(3+2+1)/36= 16,67% ¿Entendéis cómo lo he calculado?
De hecho jugar bien a un juego así consistiría en aprovechar cuantos más modificadores a tu favor para que los resultados intermedios que están alrededor de 7 se consideren "éxito" cada vez que tires. Cuando las cosas están muy chungas (tener que sacar un 11), un +1 apenas te da beneficio (hace que el 10 también sea éxito, pero eso es un +3/36 extra de probabilidad), pero si tienes que sacar un 8, entonces el +1 maximiza el beneficio que te da (hace que el 7 también sea un éxito, eso es un +6/36 extra de probabilidad).
Si haces un juego de rol y defines la "pifia" como sacar el mínimo resultado en la tirada de ataque, entonces el arma más pifiosa lanzaría 1d4 (1/4=25% de pifiar), y la más segura la que más dados lanza o la que lanza el dado más grande. Por ejemplo, con 2d6: (1/36=2,7% de pifiar).
Distribuciones "realistas". Campana de Gauss
(https://www.shutterstock.com/image-vector/gauss-distribution-standard-normal-gaussian-600nw-2150042401.jpg)
La campana de Gauss es una distribución aleatoria muy importante. Lo es porque muchas cosas aleatorias que pasan en esta vida o siguen distribución Gaussiana o pueden aproximarse matemáticamente a una.
Es como decir que en esta vida normalmente los golpes de suerte suaves son los más frecuentes y la suerte extrema, tanto buena como mala, es muy poco probable.
Carl Friedrich Gauss es un matemático alemán que creó ésta función. Es divertido pensar que antes de que él se inventase esto, todo el mundo tenía una suerte del horror: un día ganaba la lotería y al siguiente moría por la caída de un meteorito y cosas así.
En el eje horizontal es donde se ponen los resultados posibles. Si hablamos de tirar un dado, aquí irían los números del dado ordenados de menor a mayor. Si hablamos de freir un huevo, a la izquierda estaría que está malo y al comerlo te enferma, luego que está malo pero te das cuenta a tiempo y simplemente pierdes el huevo, luego que se te cae la cáscara dentro de la sartén, por el centro que te sale normal, y por la derecha que te queda muy bonito y lo más a la derecha que dentro había un vale por un apartamento en Torrevieja.
El eje vertical dice cuánta probabilidad hay que estas cosas ocurran. Lo del medio tiene más probabilidad, y los extremos van teniendo menos de forma geométrica.
De hecho, se parece algo a la distribución de tirar 2d6. No es igual porque los 2d6 hacían un triangulito con el 7 en medio, y la curva de Gauss es como redondita. La curva de Gauss se parece más a tirar 3d6, pero como es una tirada algo incómoda (sumar tres cifras es como muy cansado), muchos juegos de mesa que aspiran a ofrecer realismo de forma sencilla se conforman con tirar 2d6.
(http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/Math/immath/dice.png)
Porque tirar 2d6 ya conforma que los resultados gravitan alrededor de un valor medio (el 7) y hace que las pifias y críticos sean en comparación muy improbables. Por eso muchos wargames tiran 2d6. Si en vez de eso tirasen 1d12, los golpes de suerte extremos serían demasiado frecuentes y ya no molaría.
La media aritmética
Hay unas medidas lamadas "estadísticos" que podemos extraer de cada distribución de probabilidad. Los más famosos son la media, la moda y la varianza.
Por ejemplo, "lanzar 1d6" tendrá una media, moda y varianza.
"lanzar 2d6 y sumarlos" tendrá otra media, moda y varianza.
"la curva de gauss" tendrá otra media, moda y varianza.
La media, o media aritmética es el resultado en el medio de la distribución. La usamos en la vida cotidiana para muchas cosas. Hay una formula para calcularla, pero casi nos lía más así que no le hagáis caso: consiste en multiplicar cada resultado numérico por su probabilidad y sumarlo todo.
En 1d6, la media es 3,5. Tres y medio. La media no tiene que ser un resultado posible: con 1d6 no podemos sacar un tres y medio, pero eso no impide que su media sea tres y medio.
Sale de 1*(1/6)+2*(1/6)+3*(1/6)+4*(1/6)+5*(1/6)+6*(1/6) = 21/6 = 3,5
En general, en cualquier dado regular, como cada cara tiene la misma probabilidad, por las propiedades de las multiplicación, la media es sumar la cara más baja, la cara más alta, y dividir entre dos. Esto es un truco, no le hagáis mucho caso:
media(1d6) = (1+6)/2 = 3,5
media(1d20) = (1+20)/2= 10,5
La media nos dice que los resultados van a estar alrededor de ella. En un único dado (distribución homogénea), no nos dice prácticamente nada. La media es importante al tirar varios dados y sumarlos, o en distribuciones de Gauss. En estos casos, la media es ese punto central de máxima probabilidad alrededor del que gravitan los demás.
En 2d6, la media es 7.
Sale de 2*Pr(2)+3*Pr(3)+...+ 12*Pr(12) =
= 2*(1/36)+3*(2/36)+4*(3/36)+5*(4/36)+6*(5/36)+7*(6/36)+8*(5/36)+9*(4/36)+10*(3/36)+11*(2/36)+12*(1/36) = 7
Y aquí viene otro truquito:
Si la media de tirar 1d6 es 3,5.... la media de tirar 2d6 y sumarlos es (3,5)*2 = 7... la media de tirar 3d6 y sumarlos es (3,5)*3= 10,5 y así sucesivamente
Así que si alguien hace un juego con tiradas de 3d6, porque le apetece aproximarse más a Gauss, que sepa que la media de tirar 3d6 es "diez y medio". Así que la mayoría de veces sacará dieces y onces. De nuevo, la media no tiene por qué ser un resultado obtenible en la tirada.
De hecho, cuantos más dados tirados (y los sumamos), el bolo Gaussiano de la distribución sale más redondo y se concentra más en el centro:
Tirar 1d6 es una distribución homogénea así que es una linea plana. La media apenas es importante.
https://www.thedarkfortress.co.uk/tech_reports/tech_assets/1-chart.png (https://www.thedarkfortress.co.uk/tech_reports/tech_assets/1-chart.png)
Tirar 2d6 es un triangulito, que sube y baja. La media ya es importante porque los resultados estarán cercanos a ella.
https://www.thedarkfortress.co.uk/tech_reports/tech_assets/2-chart.png (https://www.thedarkfortress.co.uk/tech_reports/tech_assets/2-chart.png)
Tirar 3d6 ya tiene forma de Gaussiana, es una curva que suve y baja. La media es muy importante porque los resultados lejanos a la media son cada vez más difíciles de obtener.
https://www.thedarkfortress.co.uk/tech_reports/tech_assets/3-chart.png (https://www.thedarkfortress.co.uk/tech_reports/tech_assets/3-chart.png)
Y esto nos lleva al siguiente "estadístico": la varianza
La varianza
La varianza es un estadístico que nos dice lo concentrada o dispersa que está la suerte en una distribución aleatoria.
Calcularla numéricamente no tiene sentido para el nivel de profundidad que intento mostrar, así que no voy a poner su fórmula. Aun así tiene un valor numérico calculable (puede ser igual a ocho, yo qué sé), pero sólo me referiré a distribuciones con "alta varianza", "varianza media" y "baja varianza".
Como la mayoría de las distribuciones son parecidas a la curva de Gauss, tenemos que en la mayoría de las cosas, la suerte se arremolina alrededor de una media. Pero no siempre se arremolina con la misma densidad. La varianza nos dice cómo de densamente se arrejuntan los posibles resultados a esa media.
En una distribución de alta varianza, sacar resultados extremos es fácil.
En una distribución de media varianza, sacar resultados extremos es factible.
En una distribución de baja varianza, sacar resultados extremos es casi imposible, todos están rodeando a la media.
Si os fijáis, 1d6 tiene más varianza que 2d6, y 2d6 tiene más varianza que 3d6. Cuantos más dados tiras y sumas, menos varianza tiene la distribución creada: más dificultas que los resultados se alejen de la media.
En alta varianza (1d6), la media prácticamente no importa porque los resultados no se arremolinan alrededor de ella, y con baja varianza (3d6) la media importa mucho porque casi todos los resultados se pegan a ella.
La varianza es lo que hace diferente a 2d6 de 1d12 (en el que ignoras cuando salga un 1). Ambos tienen el mismo rango (de 2 a 12), la misma media (7), pero 2d6 tiene menos varianza y por tanto sus resultados gravitan la media de 7... mientras que 1d12 tiene más varianza y lo mismo te saca un 12 que un 7.
Como curiosidad, en ambientes de súper alta varianza, los resultados huyen de la media. Así que la media vuelve a ser importante, por el extraño hecho de que nada ocurre cerca de la media y la suerte tiende a caer en la zona extremadamente mala o extremadamente buena, muy alejado de la media. Sería el caso de la anti-Gaussiana:
(https://pbs.twimg.com/media/EYpPU3eVAAYnXZR.png)
Aunque matemáticamente sea así, las distribuciones con varianza extrema no se usan mucho porque no simulan cosas realistas. Normalmente se utilizan Gaussianas o cosas parecidas a Gaussianas, con la mayoría de resultados apelotonados junto a una media.
La moda
El estadístico que queda, la moda, se utiliza poco en estos ámbitos.
La moda es el resultado más probable de una distribución.
¿Pero eso no era la media? No, la media es el resultado que está probabilísticamente en medio. La confusión viene porque en las distribuciones que hemos estado viendo, el resultado más probable era también el que está en medio, y por tanto, media y moda coinciden... más o menos.
Concretamente, en 1d6, como todos los resultados son equiprobables, la moda son todos los resultados a la vez. Hay un empate múltiple en el que la moda es el 1, el 2, el 3, el 4, el 5 y el 6.
En 2d6, el resultado más probable es el 7, así que el 7 es la moda, y también la media.
En 3d6, la moda es tanto el 10 y el 11. La media es 10,5. A diferencia de la media, que es un número que no tiene por qué coincidir con un resultado, la moda sí debe ser un resultado (o varios resultados), así que en 3d6 moda (10;11) y media (10,5) no coinciden exactamente pero andan cerca.
La moda gana importancia y significado cuando nuestra distribución de probabilidad tiene asimetrías.
Imaginemos un dado "custom" que nos diga cuánto llueve en los Bilbaos:
"0" (no llueve), "0"(no llueve), "0"(no llueve), "1"(sirimiri), "2" (calabobos), "9"(txaparrada)
La moda de este dado es 0, porque es el resultado más probable (hay 3/6= 50% de que no llueva).
Pero la media es 2. (0+0+0+1+2+9)/6 = 2.
Y la varianza, si supiésemos calcularla, daría alta, o al menos importante, por culpa del tirón que pega ese 9. Esto no es una gaussiana ni se le aproxima, aquí la media está sólo de forma circunstancial porque no nos dice dónde se concentran los resultados. La moda sí nos da información fiable de qué resultado va a salir la mayoría de las veces, pero la media no nos dice gran cosa dónde se concentran los resultados.
Así que en este dado, la moda resulta más informativa que la media.
Otro sitio donde la moda sirve es para cabrearse con el gobierno y prensa españolas. Por cómo nos engañan a la hora de hablar de los sueldos en España, que tienen esta distribución.
(https://s03.s3c.es/imag/_v0/770x409/6/7/7/salario-habitual-770-grafico-ine.jpg)
Si os fijáis, la gráfica no es simétrica, así que moda y media no serán lo mismo. No es una distribución de probabilidad, son datos (ahora no estamos modelando azar), pero estos estadísticos también se pueden aplicar aquí.
La media (el sueldo medio, 23.000€, que no mucha gente cobra), está artificialmente desplazada a la derecha por culpa de la larga cola de sueldazos. En el eje vertical, el sueldo medio no está tan arriba, no hay tanta gente que lo cobre realmente.
Así que ponerse medallas por el sueldo medio español o utilizarlo como termómetro social es un engaño. Hablar del sueldo medio es hablar de gente que cobra más de lo normal. Sería mucho más lógico y natural medir el bienestar de la nación utilizando el sueldo moda, el más probable (16.000€). O la concentración de sueldos cercanos a la moda, donde se concentra la mayoría de ciudadanos. Pero en la tele nunca os hablan del sueldo moda, porque al ser más bajo que el medio, hace quedar en mal lugar a quienes os engañan con trucos estadísticos.
En este gráfico nos dice más la moda que la media. Por ser asimétrico y haber bastante varianza (no se apelotona todo en el centro, el centro es más un pico que una cúpula, y las colas que se alejan son largas).
Las morteradas de dados. Permutaciones de diferentes probabilidades.
Lo complicado de la estadística viene cuando tiras muchos dados, pero en vez de sumarlos, consideras a cada uno por separado e intentas ver si cada uno por separado logra algo, típicamente superar un número de dificultad concreto. Este es un tipo de tirada muy común en los juegos, así que analizar cómo se hacen los cálculos puede ser interesante.
En "Vampiro la Mascarada", tiras 5 dados de 10 caras y necesitas sacar 8 ó más para obtener "éxitos" y necesitas 2 éxitos para que funcione tu Ritual Taumatúrgico Antitodo y poder defenderte del Ataque Matatodo que te han lanzado.
O sea, necesitas que al menos dos dados saquen un 8 ó más. Da igual si sacas cuatro éxitos que tres, necesitas al menos dos. También te da igual sacar uno que cero, porque sería fallar igualmente.
Que un solo d10 saque 8 ó más tiene un 30%. Ya tendríais que saber de dónde sale este número, si no os acordáis tomad lápez y papel y sacadlo.
¡Pero ahora tiras 5 dados! ¿Cómo calculas esto?
Cada dado se ha convertido en una mini-distribución con un 30% de sacar éxito y 70% de sacar fracaso. Como hay 5 dados, y cada uno tiene 2 estados (éxito/fracaso), esto tiene 2^5 = 32 permutaciones. E es "éxito", F es "fracaso", el número de después es el número de éxitos de esa permutación, y el asterisco nos dice si hay al menos 2 asteriscos para que nos funcione el Ritual Taumatúrgico Antitodo, que es nuestro objetivo. Las permutaciones serían:
FFFFF 0
FFFFE 1
FFFEF 1
FFFEE 2*
FFEFF 1
FFEFE 2*
FFEEF 2*
FFEEE 3*
FEFFF 1
FEFFE 2*
FEFEF 2*
FEFEE 3*
FEEFF 2*
FEEFE 3*
FEEEF 3*
FEEEE 4*
EFFFF 1
EFFFE 2*
EFFEF 2*
EFFEE 3*
EFEFF 2*
EFEFE 3*
EFEEF 3*
EFEEE 4*
EEFFF 2*
EEFFE 3*
EEFEF 3*
EEFEE 4*
EEEFF 3*
EEEFE 4*
EEEEF 4*
EEEEE 5*
¡Hala, qué burrada! Vaya rollo, ¿Hay que escribirlos todos siempre, como un escriba medieval? ¿No hay forma de automatizar esto?
Sí, hay forma. Pero es mejor ver el panorama completo al que uno se enfrenta antes de saber cómo ahorrarse tiempo y encauzar los cálculos. El ahorro viene de imaginarse sólo aquellas permutaciones que nos van a dar la victoria, ir calculando sus probabilidades, y sumarlas todas. Así que estaremos calculando la probabilidad de que nuestra "morterada de dados" salga victoriosa. Contemplaremos las permutaciones que nos dan la victoria: son las de 5 éxitos, 4 éxitos, 3 éxitos y 2 éxitos. Las de 1 y 0 éxitos no las contemplamos porque esas son de derrota.
Primero tomamos sólo las permutaciones de 5 éxitos. Sólo hay una:
EEEEE
Y esta permutación tiene una probabilidad muy bajita, de (3/10)*(3/10)*(3/10)*(3/10)*(3/10)=0,243%
Ahora las de 4 éxitos. Hay cinco, y lo sé sin contarlas, porque sólo hay cinco "posiciones" en las que poder colar una F en medio de otras cuatro Es:
FEEEE, EFEEE, EEFEE, EEEFE, EEEEF
Cada una de estas tiene una probabilidad de (3/10)*(3/10)*(3/10)*(3/10)*(7/10) = 0,567%
Y como son cinco, entre todas amasan una probabilidad de 0,567 *5 = 2,835%
Fijaos que en la multiplicación de probabilidades he colado un 7 sustituyendo a un 3, porque hay un dado fracasando (70%) entre los que sacan éxitos (30%). Las multiplicaciones tienen la propiedad conmutativa, así que da igual si el 7 lo ponemos delante, detrás o en medio. Con tal de que haya uno, este paso estará bien.
Y ahora vamos con permutaciones de 3 éxitos. Hay diez, y lo sé sin contarlas porque hay diez "posiciones" en las que colar dos Fs en medio de Es:
Ahora es (3/10)*(3/10)*(3/10)*(7/10)*(7/10) = (3/10)^3*(7/10)^2 = 1,323%
Y todas esas 10 amasan una probabilidad de 10*(1,323)= 13,23%
Y ahora 2 éxitos. ¿Empezáis a ver un patrón que facilite los cálculos? Probabilidad de éxito elevado al número de éxitos, por probabilidad de fracasos elevado al número de fracasos.
Ahora es (3/10)^2*(7/10)^3 = 3,087%
Y son 10 permutaciones, así que entre todas 3,087*10= 30,87%
Y "1 éxito" ya no lo contemplamos, porque eso ya no activa el Ritual Taumatúrgico, así que no lo contamos dentro del éxito de nuestra empresa. "0 éxitos" tampoco.
Ahora sumamos todas las probabilidades de cada permutación. El numerito que tienen multiplicando a la izquierda es lo que he comentado antes, que varias permutaciones dan lugar al mismo número de éxitos, así que hay que tener en cuenta todas. Es análogo a que tirando 2d6 haya múltiples formas de sacar un 7. Si os parece marciano saber cuántas permutaciones salen en cada caso, cuando las permutaciones son pocas se hacen a ojo, cuando son muchas existen fórmulas para calcular cuántas permutaciones de X elementos caben en una estructura de Y huecos. Estas fórmulas se llaman "combinatorias", y las dejo para más tarde. Para calcular cuántas permutaciones son posibles a ojo, tomad cinco huecos de mancala con 3 garbanzos y calculad en cuantas disposiciones podéis ponerlos, teniendo en cuenta que en cada hueco sólo puede haber 1 garbanzo o ningún garbanzo (saldrán 10 casos).
Pr(la morterada de dados es victoriosa) =
1 permutación * Pr(5 éxitos) + 5 permutaciones * Pr(4 éxitos) +10 permutaciones * Pr(3 éxitos) + 10 permutaciones * Pr(2 éxitos)=
1*0,243% + 5*(0,567%) + 10*(1,323%) + 10*(3,087%)=
0,243% + 2,835% + 13,23% + 30,87% =
=47,178%
Esta es la probabilidad de sacar al menos dos éxitos tirando 5 dados de 10 caras contra una dificultad de 8 ó más. Es decir, la probabilidad de que nos funcione el Ritual Taumatúrgico Antitodo.
Pero como la estadística está llena de truquitos, aquí puedo contaros un truquito que tiene que ver con la fórmula de la probabilidad inversa Pr(A) = 1 - Pr(no-A)
Y es que habría sido más fácil (porque tiene menos pasos), calcular la probabilidad de fallar nuestra morterada de dados. Nos habría salido un 52,822%, luego haríamos hecho 100%-52,822% y así habríamos obtenido nuestro 47,178% de éxito. Pero con menos cálculos y más cortos.
O sea, resulta más fácil, por tener menos pasos, calcular cuándo nos salen 0 éxitos y cuándo 1 éxito. Y luego hacer la inversa. Aun así, prefiero calcular la victoria, para que veáis bien pormenorizado cómo se hace.
Pero también voy a presentar cómo llegaríamos al mismo resultado calculando la derrota y luego haciendo la inversa:
Ningún éxito:
FFFFF (1 permutación)
(7/10)^5= 16,807%
Un éxito
EFFFF, FEFFF, FFEFF, FFFEF, FFFFE (5 permutaciones)
(7/10)^4*(3/10)^1= 7,203%
Sumando todo:
Pr(la morterada falla) = 1* (16,807%) + 5*(7,203%) = 52,822%
Pr(la morterada es victoriosa) = 100% - 52,822% = 47,178%
Si os fijáis:
Pr(la morterada falla) + Pr(la morterada es victoriosa) = 47,178% + 52,822% = 100%.
Esto es porque la tirada o sale, o no sale, no hay "empate" ni "que la moneda caiga de canto" ni nada fuera de esas dos opciones. La suma de ambas conforma el espectro completo de azar que hay.
Y si os fijáis más aún, todo esto no dista mucho de tirar 1d6 e intentar sacar 4 ó más (50% éxito/50%fracaso). Lo de tirar tantos dados es por hacer el hipster.
Cita de: Hollyhock en 22 de Febrero de 2024, 16:34:54
Lo de tirar tantos dados es por hacer el hipster.
Voy siguiendo tus clases de 'mates'; son muy claras y directas. Y de todo, esto lo que más.
Combinatorias
Antes he dicho que en 5 dados lanzados, que 2 saquen éxitos y 3 saquen fracasos tenía 10 posibles permutaciones.
A muchos os habrá parecido que ese 10 me lo he sacado de la chistera. A fin de cuentas, os he pedido que imaginéis cinco "huecos" en los que pueda haber "éxito o fracaso" (en realidad dije "garbanzo" o "no garbanzo"), y que contaseis la cantidad de posibles ubicaciones de 3 garbanzos, y saldrían 10.
Para hacerlo "a ojo", lo más recomendable es ser metódicos, tomar 5 huecos, colocar 3 garbanzos en los 3 primeros huecos, e ir moviendo los garbanzos. Primero el más de la derecha hacia la derecha, y cuando rebosa, movemos el siguiente una casilla y luego volvemos a mover el garbanzo de la derecha. Es un poco la forma en la que contamos los números, es como si un garbanzo fuese "unidades", otro "decenas" y otro "centenas". Cuando las "unidades" llegan al límite, aumentamos las "decenas" y regresamos las "unidades" al lugar anterior y seguimos moviéndolas... O como si un garbanzo fuese el segundero, otro el minutero y otro la aguja de las horas.
Empezamos así (primera permutación)
[ o ][ o ][ o ][ ][ ]
Movemos el garbanzo de la derecha a la derecha (dos nuevas permutaciones)
[ o ][ o ][ ][ o ][ ]
[ o ][ o ][ ][ ][ o ]
cuando rebasa, movemos el segundo garbanzo y regresamos el otro lo más a la izquierda posible y seguimos moviéndolo:
[ o ][ ][ o ][ o ][ ]
[ o ][ ][ o ][ ][ o ]
Rebasa de nuevo, avanzamos de nuevo el segundo garbanzo.
[ o ][ ][ ][ o ][ o ]
Y ahora lo que rebasa es el garbanzo del medio así que toca mover el de la izquierda y repetir
[ ][ o ][ o ][ o ][ ]
[ ][ o ][ o ][ ][ o ]
[ ][ o ][ ][ o ][ o ]
Por último vuelve a rebasar y movemos una vez más el de la izquierda, y ya no podemos mover nada más a la derecha, así que es la permutación final.
[ ][ ][ o ][ o ][ o ]
Total: 10 permutaciones. Así es como se hace el cálculo a ojo.
5 huecos, 3 elementos móviles en esos huecos, dan 10 permutaciones
Si no lo veis a simple vista, o si los números son muy grandes, existe una fórmula para calcular el número de permutaciones: la fórmula de las combinatorias. Es ésta de aquí:
(https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c98db01cf7b3404d7f8babd9e54b6f16b2166e)
C es la combinatoria (el número de permutaciones posible)
n es el número de huecos
r es el número de elementos en esos huecos
Así que C(5,3) = (5!)/[3!*(5-3)!]
Si no sabéis lo que significan esos símbolos de exclamación, lo explico. N! se llama "factorial de N" y es igual a la multiplicación de todo número natural previo a N hasta llegar a 1.
Factorial de 5 = 5! = 5*4*3*2*1
Factorial de 20 = 20! = 20*19*18*17*16*15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1
Sólo se puede sacar factorial de números naturales. Las calculadoras científicas te calculan el factorial de los números, pero si le metes un número no natural te da error.
En nuestro caso, era:
n= 5 huecos
r= 3 elementos
C= 5!/(3!*2!) = (5*4*3*2*1)/(3*2*1*2*1) = 10 permutaciones
Si tuviésemos 12 huecos (una huevera), y 3 huevos, habría
C = 12!/3!*9! = 220 permutaciones en las que colocarlos. Aquí sería mejor aplicar la fórmula y no intentar hacerlo a ojo. Pero cuando hay pocas combinatorias, es mejor hacerlo a ojo porque expande la mente.
Esto no sólo sirve para "ubicar r elementos en n huecos". También puede ser que tengamos un gremio de aventureros con r miembros diferentes y haya que elegir n aventureros para una misión en la mazmorra. La combinatoria nos diría cuántas combinaciones de compañías de aventureros únicas serían posibles. Pensad que son equivalentes porque los huecos pueden representar aventureros, y los garbanzos que caben en el hueco es la responsabilidad que recibe el aventurero de ir a la mazmorra. Igual que el hueco puede "contener" el garbanzo, el aventurero puede "contener" que le toque irse de aventuras.
Este tipo de combinatoria se llama "sin repetición" porque los elementos no peden solaparse: cada hueco no puede tener más de un garbanzo, y cada aventurero no puede ser llamado más de una vez a la mazmorra. En casos que se pudiese tener repeticiones a la hora de asignar elementos, se utiliza otra fórmula más complicada, que no creo que merezca la pena mencionar porque para este tipo de problemas estadísticos las combinatorias no permiten repeticiones.
Un detalle:
Cita de: Hollyhock en 22 de Febrero de 2024, 11:01:57
Pero si la pregunta cambia a ¿cuál es la probabilidad de sacar cinco veces seguidas un "6"?, entonces esto ya es más difícil.
Pr(cinco "6"s seguidos) = Pr(un 6)*Pr(un 6)*Pr(un 6)*Pr(un 6)*Pr(un 6)=(1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6) = 5*(1/6) = 3,33%
Y esta fórmula puede descomponerse de esta forma (cinco veces lo que un único seis) precisamente porque a un dado le da igual lo que haya sacado antes, así que cada tirada es independiente.
...
La probabilidad de sacar cinco oros seguidos ya no puede descomponerse en 5*(algo), porque la probabilidad de sacar cada oro es diferente. Cada vez que sacamos una carta, el mazo cambia:
No es 5×x, es x
5