La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)

[Hollyhock]

¿Sabéis cuánto da la suma infinita de todos los números naturales? Me refiero a:

1+2+3+4+5+6+7+8+... y así con todos los enteros positivos hasta infinito.

¿Cuánto piensas que da? Debe ser un número grande, gigantesco ¿verdad?



Venga, intenta adivinarlo.



No vais a poder



¿Os lo cuento ya?

El resultado de esta suma es conocido, y es completa y absolutamente flipante. El resultado de esta suma infinita es -1/12 (menos un doceavo). Sí, habéis leído bien, sumar todos los números naturales da como resultado un número negativo y de valor absoluto inferior a 1. Justo lo que no pensabas que iba a ser.

 

¿Pero cómo puede ser esto? Si paras la serie en alguna parte, obtienes un número enorme y positivo, ¿me estás contando que la "infinitud" de la serie rompe las reglas intuitivas y convierte el resultado en -1/12? ¿Qué magia no-convergente es ésta?



Pues sí. Esto no es un truco ni una ilusión, esto es un cálculo matemático real que de hecho ya se ha empleado en algunos estudios físicos. Lo mejor de todo es que su demostración, aunque algo larga, es tan sencilla que hasta un niño puede entenderlo, y resulta muy interesante.

S = Sumatorio(n)[de n=1 a infinito] = 1+2+3+4+5+6+7... = -1/12

Vamos a demostrarlo:

Para calcular S antes tenemos que calcular un par de series distintas. La primera es la serie A:

A= 1-1+1-1+1-1+1-1...

A es una suma de unos, positivos en términos impares y negativos en pares. Uno más uno menos uno más uno menos uno...

Intuitivamente, parece que A=0 si emparejamos los unos empezando por el primero (1-1)+(1-1)+(1-1) = 0. Pero también puede ser A=1 si emparejamos los unos empezando por el segundo 1+(-1+1)+(-1+1)=1. Ummmm.... ¿dará cero o dará uno? Vamos a calcular de verdad:

El resultado real se consigue dándonos cuenta que 1-A da la misma serie que la propia A:

1-A = 1- (1-1+1-1+...) = 1-1+1-1+1-... = A

Sabiendo que 1-A=A, despejamos A=1/2. Resulta bastante intuitivo que el resultado bueno en vez de ser 0 ó 1, sea la media de cero y uno. Ni pa ti ni pa mí. Ya tenemos esta.

La segunda serie que hace falta analizar es B, la suma de todos los números naturales, pero a diferencia de S en la que todos suman, en B suman los términos impares y restan los pares:

B=1-2+3-4+5-6+7...

Esta serie se calcula sumando dos veces B, pero desplazando la suma una posición a la derecha:

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   B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 +...
+  B =     1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ...
--------------------------------------------
  2B = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 -...


Ese resultado me suena. Anda mira, el doble de B es igual a A, la cual ya sabemos que da 1/2. Así que 2B=1/2, por tanto despejamos B=1/4. Ya tenemos esta otra también.

Ahora ya tenemos todas las herramientas necesarias para calcular la suma de todos los números naturales. Entremos a matar:

El truco para hallar la suma de la serie S=1+2+3+4+5+6+7+... es restarle B a S:

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   S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +...
-  B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 -...
--------------------------------------------
S-B = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 +12 +0 +...


Entonces tenemos que S-B=4+8+12+16+20+... .Esta también es una suma infinita, que aumenta de 4 en 4.

Sacamos 4 como factor común y tenemos que S-B=4*(1+2+3+4+5+6+7...)

Mira, lo que está entre paréntesis es la propia serie S, así que podemos escribir:

S-B=4*S. Sabiendo que B=1/4, sustituimos:

S-1/4=4*S. Y de aquí no cuesta mucho despejar que S=-1/12



Por tanto:

S = Sumatorio(n)[de n=1 a infinito] = 1+2+3+4+5+6+7... = -1/12

[Bru]

Verdaderamente asombroso.  Y también esclarecedor porque demuestra que la enseñanza tradicional de las matemáticas básicas está obsoleta y debería ser adaptada a los nuevos tiempos.

[Cẻsar]

Yo creo que en esta demostración hay bastantes cosas raras, como operaciones con series que no veo claras.

No tengo el cálculo muy fresco pero dudo mucho que sean válidas y correctas esas formas de manipular series.

De hecho empezaría por decir que no existe tal cosa como sum(N). La suma de los números naturales tiende a infinito al crecer N, que es diferente.

Edito y añado: he buscado info sobre esta "suma" y es verdad que "no es un truco ni una ilusión". Se llama suma de Ramanujan y en realidad es un caso especial de la función Z de Riemann, y tiene sentido sí, pero redefiniendo ciertas operaciones matemáticas e incluso el símbolo de igualdad (=)

Algo así como si digo que la paella se cocina con "patatas" y cuando me mireis raro, os explico que me he inventado un lenguaje en el que patatas significa "arroz".

A ver si puedo hacer una explicación sin meterme en muchos líos.

Toma la función  f(x)=(x(1+x))/2

Resulta que para cada número natural n, f(n) coincide con la suma de todos los números naturales hasta llegar a él.

f(1) = 1
f(2) = 3 (= 1+2)
f(3) = 6 (=1+2+3)

y así sucesivamente.

Pero la función f(x) la he definido para todos los números reales, no solo para los naturales. Voy a dibujar la gráfica.


(https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+f(x)%3D(x(1%2Bx))%2F2+between+-1+and+0)

Ahora calculamos el área de la curva que queda debajo del eje de ordenadas. Una integral sencillita. Resulta -1/12.

Eso es ni más ni menos lo que significa la suma de Ramanujan.

[delcampo]

Suena mucho a truco matemático  La suma de infinitos números parece más bien un concepto absurdo, o al menos inmanejable.

[ulises7]

Yo también desconocía el resultado pero por lo visto es cierto, la suma aparenta ser divergente pero converge, Ramanujan ya lo descubrió hace un siglo:

https://es.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF

Y aquí un artículo más técnico:

http://math.arizona.edu/~cais/Papers/Expos/div.pdf

Lo que no tengo del todo claro es si esta demostración es consistente analíticamente, porque la forma de reordenar las sumas lo veo muy raro y vago, pero el tema se me escapa la verdad y el resultado sí es consistente.

Y un interesante resultado de este sumatorio es que para la teoría de cuerdas bosónicas se requieren un mínimo de 26 dimensiones de las cuerdas, para que la energía de estas sea consistente 

[Hollyhock]

Las sumas divergentes infinitas no pueden sumarse de forma tradicional, pero se les puede aplicar Ramanujan para calcularles una "suma", que tiene validez al poder aplicarse en campos físicos.

Como dice ulises7, el -1/12 se utiliza en teoría de cuerdas.

EDIT:
Soy ingeniero, no matemático, y como tal cada vez que me he encontrado una serie divergente el resultado era que no se podía hacer nada con ella, así que no las he estudiado. Por eso me ha entrado curiosidad con este tema y me ha parecido una curiosidad capaz de despertar interés por las matemáticas para cualquier público. Si algo no tiene suma pero tiene "suma", pues la "suma" es su suma. Seguro que en este foro habrá matemáticos que sabrán mucho más, pero no jodáis la magia, que es Navidad.

[delcampo]

Pues no sé, en principio parece algo ad hoc. Si no es una suma "tradicional", no es una suma, será otro concepto. La suma de infinitos números no puede dar un resultado concreto porque el elemento infinito es un concepto que lo impide.

[ardacho]

Todo es falso. Vivimos en Matrix

[Lopez de la Osa]

El truco para hallar la suma de la serie S=1+2+3+4+5+6+7+... es restarle B a S:

¿Por qué?

[Hollyhock]

El truco para hallar la suma de la serie S=1+2+3+4+5+6+7+... es restarle B a S:

¿Por qué?

Porque así puedes conseguir como resultado una serie que poder poner en función de S, lo que te permite montar una ecuación capaz de despejar S.

EDIT: creo que preguntas cómo se le pudo ocurrir a alguien considerar (S-B). Lo ignoro. Supongo que Ramanujan buscaba transformar S con una serie similar (B) para hallar algo que pudiese ponerse en función de S ó B, para así poder despejarla. A lo mejor incluso llegó al resultado de otra forma y esta es la solución noob-friendly, pero sigue siendo una solución válida al fin y al cabo.

[Bru]

El truco para hallar la suma de la serie S=1+2+3+4+5+6+7+... es restarle B a S:

¿Por qué?

Aquí tienes una explicación más gráfica del procedimiento.  La clave está en que el "infinito" no tiene las mismas propiedades que los números "normales".  Por ejemplo no hay ningún número que sumado a si mismo tenga como resultado ese mismo número (excepto el "0" que tampoco es un número con las mismas propiedades).   Sin embargo el infinito sumado a si mismo sigue siendo infinito.  Desde ahí todo lo que se haga con infinitos no se puede calibrar con la álgebra tradicional a la que estamos acostumbrados.

https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=w-I6XTVZXww

[Caixaa]

Seguro que en este foro habrá matemáticos que sabrán mucho más, pero no jodáis la magia, que es Navidad.

Soy matemático, y tan sólo puedo decir que las matemáticas son bellas. A mis hijas les hago "trucos" con números, pero a su nivel, aunque el concepto de infinito ya se lo he empezado a enseñar con algún que otro truquito "mágico"... pero como dice Hollyhock sin joder la magia...

[Matasiete]

El truco para hallar la suma de la serie S=1+2+3+4+5+6+7+... es restarle B a S:

¿Por qué?

Porque del caserío me fio y tambien de la wikipedia
https://es.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF
Aun así sigo sin asimilar lo que significa. ?

[Midom]

Pues yo lo he hecho por la cuenta de la vieja y me sale infinito.

Saludos.

[Brett Ludsen]

Pues yo lo he hecho por la cuenta de la vieja y me sale infinito.

Saludos.

Pues vaya tio barbaro debes estar hecho. Yo lo he intentado por el mismo metodo y me he cansado antes de llegar al resultado. Ckn decirte que ni siquiera he llegado a la mitad de infinito!